20.如圖所示為某鋼鐵廠的鋼錠傳送裝置,斜坡長為L=20m,高為h=2m,斜坡上緊排著一排滾筒.長為l=8m、質(zhì)量為m=1×103kg的鋼錠ab放在滾筒上,鋼錠與滾筒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3,工作時(shí)由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)所有滾筒順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng),使鋼錠沿斜坡向上移動(dòng),滾筒邊緣的線速度均為v=4m/s.假設(shè)關(guān)閉電動(dòng)機(jī)的瞬時(shí)所有滾筒立即停止轉(zhuǎn)動(dòng),鋼錠對滾筒的總壓力的大小近似等于鋼錠的重力.取當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=10m/s2.試求:
(1)鋼錠從坡底(如圖所示位置)由靜止開始運(yùn)動(dòng),直到b端到達(dá)坡頂所需的最短時(shí)間.
(2)鋼錠從坡底(如圖所示位置)由靜止開始運(yùn)動(dòng),直到b端到達(dá)坡頂?shù)倪^程中電動(dòng)機(jī)至少要工作多長時(shí)間?

分析 (1)欲使b端到達(dá)坡頂所需要的時(shí)間最短,需要電動(dòng)機(jī)一直工作,則鋼軌先做勻加速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)它的速度等于滾筒邊緣的線速度后,做勻速直線運(yùn)動(dòng).
(2)欲使電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間最短,鋼軌的最后一段運(yùn)動(dòng)要關(guān)閉電動(dòng)機(jī),鋼軌勻減速上升,即鋼軌先加速后勻速,最后減速;故電機(jī)工作時(shí)間等于除去減速外鋼軌的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

解答 解:(1)鋼錠開始受到的滑動(dòng)摩擦力為:f1=μmg=3×103N,
設(shè)斜坡與水平面的夾角為α,由牛頓第二定律有:Ff-mgsinα=ma1,
代入數(shù)據(jù)解得:${a_1}=2m/{s^2}$,
鋼錠做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間:${t_1}=\frac{v}{a}=2s$,位移:${x_1}=\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=4m$,
要使b端到達(dá)坡頂所需要的時(shí)間最短,需要電動(dòng)機(jī)一直工作,鋼錠先做勻加速直線運(yùn)動(dòng),
當(dāng)它的速度等于滾筒邊緣的線速度后,做勻速直線運(yùn)動(dòng).鋼錠做勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移:
x2=L-l-x1=8m,做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間:${t_2}=\frac{x_2}{v}=2s$,
所需最短時(shí)間 t=t1+t2=4s;
(2)要使電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間最短,鋼錠的最后一段運(yùn)動(dòng)要關(guān)閉電動(dòng)機(jī),
鋼錠勻減速上升,b端到達(dá)坡頂時(shí)速度剛好為零.
勻減速上升時(shí),由牛頓第二定律得:Ff+mgsinα=ma2,
代入數(shù)據(jù)解得:${a_2}=4m/{s^2}$,
勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間:${t_3}=\frac{v}{a_2}=1s$,
勻減速運(yùn)動(dòng)位移:${x_3}=\frac{v}{2}{t_3}=2m$,
勻速運(yùn)動(dòng)的位移:x4=L-l-x1-x3=6m,
電動(dòng)機(jī)至少要工作的時(shí)間:$t={t_1}+\frac{x_4}{v}=3.5s$;
答:(1)鋼錠從坡底(如圖所示位置)由靜止開始運(yùn)動(dòng),直到b端到達(dá)坡頂所需的最短時(shí)間是4s.
(2)鋼錠從坡底(如圖所示位置)由靜止開始運(yùn)動(dòng),直到b端到達(dá)坡頂?shù)倪^程中電動(dòng)機(jī)至少要工作3.5s.

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確鋼軌的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,然后分階段根據(jù)牛頓第二定律求解加速度,再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解.

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(1)滑塊經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)對軌道的壓力大。
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