Question

7．足夠長的光滑水平面上，疊放在一起的物塊A和長薄木板B質(zhì)量均為m=1kg．當(dāng)B板右端J通過水平面上C點(diǎn)時，物塊A在板的左端且向右速度為v₀=2m/s，B板的速度為0．并以此時刻為計時起點(diǎn)．已知J端進(jìn)入電場之前A、B已達(dá)到共同速度，A、B間動摩擦因數(shù)μ=0.1，g取10m/s²．B板右端J帶q=0.01C的正電荷（可視為點(diǎn)電荷），在寬d=1m的PQ區(qū)域內(nèi)存在方向水平向左的勻強(qiáng)電場，為使B板最終從左側(cè)離開該電場區(qū)域，已知A始終沒有滑落B板．求：

（1）B板右端J端剛進(jìn)入邊界P的速度；
（2）在電場強(qiáng)度可能取值范圍內(nèi)，B板右端j處在PQ區(qū)域內(nèi)的時間t與電場強(qiáng)度的關(guān)系．
（3）若電場強(qiáng)度E=300N/C，B板至少為多長？

Answer 1

分析 （1）A做減速運(yùn)動，B做加速運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式求出速度相等經(jīng)歷的時間，以及此時B板的速度．
（2）假設(shè)J邊進(jìn)入PQ區(qū)域，剛好能到達(dá)Q邊界，結(jié)合速度位移公式和牛頓第二定律求出電場強(qiáng)度的臨界值，假設(shè)J邊進(jìn)入PQ區(qū)域后A、B剛好能一起做勻變速直線運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律求出電場強(qiáng)度的臨界值，然后分情況討論，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出B板右端j處在PQ區(qū)域內(nèi)的時間t與電場強(qiáng)度的關(guān)系．
（3）分析出A、B的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出B板至少長度．

解答 解：（1）設(shè)A、B的加速度大小為a，由牛頓第二定律，μmg=ma，得a=1m/s²
A做減速運(yùn)動，B做加速運(yùn)動．
設(shè)經(jīng)時間t，A、B達(dá)到共同速度v，由勻變速運(yùn)動的速度公式得：v=at=v₀-at，
代入數(shù)據(jù)解得：t=1s；v=1 m/s   
（2）假設(shè)J邊進(jìn)入PQ區(qū)域，剛好能到達(dá)Q邊界，由速度位移公式得：
v_t²-v'²=-2a_m1d，
代入數(shù)據(jù)解得：a_m1=0.5 m/s²
電場強(qiáng)度臨界值：qE=2ma_m1，
代入數(shù)據(jù)解得：E_m1=100N/C，
假設(shè)J邊進(jìn)入PQ區(qū)域后A、B剛好能一起做勻變速直線運(yùn)動
對塊A：μmg=ma_m2，
代入數(shù)據(jù)解得：a_m2=1m/s²
電場強(qiáng)度臨界值為：qE_m2=2ma_m2=2×1=2N；E_m1=200N/C   
①當(dāng)100N/C＜E≤200N/C，A、B一起做（往返式）勻變速直線運(yùn)動．
qE=2ma₁，-v'=v'-a₁t₁，
代入數(shù)據(jù)解得：t₁=$\frac{400}{E}$s；     
②當(dāng)E＞200 N/C，A、B發(fā)生相對滑動，但板做（往返式）勻變速直線運(yùn)動
對板B：qE-μmg=ma₂，-v'=v'-a₂t₂，
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=$\frac{200}{E-100}$s；    
（3）進(jìn)入電場之前A、B的相對位移為x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t-\frac{v}{2}t$=1m；   
在電場中運(yùn)動的t₃=1s內(nèi)，B運(yùn)動的位移為0，
A運(yùn)動的位移為x₂=v t₃-$\frac{1}{2}$μg t₃²=0.5m   此時A的速度為0．    
經(jīng)過t₄時間A、B達(dá)到共同速度，則：
v-μg t₄=μg t₄   t₄=0.5s  
A、B的相對位移為
x₃=v t₄-$\frac{1}{2}$μg t₄²-$\frac{1}{2}$μg t₄²
代入數(shù)據(jù)解得x₃=0.25m    
L=x₁+x₂+x₃=1+0.5+0.25m=1.75m 
則 B板至少1.75m長．   
答：（1）B板右端J端剛進(jìn)入邊界P的速度為1m/s；
（2）當(dāng)100N/C＜E≤200N/C，A、B一起做（往返式）勻變速直線運(yùn)動．t₁=$\frac{400}{E}$s； 當(dāng)E＞200 N/C，A、B發(fā)生相對滑動，但板做（往返式）勻變速直線運(yùn)動，t₂=$\frac{200}{E-100}$s；
（3）B板至少為1.75m．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清A、B在整個過程中的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式靈活求解，在第二問中，需要分情況討論，是本題的難點(diǎn)．