Question

3．如圖所示，A為位于一定高度處的質量為m的小球，B為位于水平地面上的質量為M的長方形空心盒子，盒子足夠長，且M=2m，盒子與地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2．盒內存在著某種力場，每當小球進入盒內，該力場將同時對小球和盒子施加一個大小為F=Mg、方向分別豎直向上和向下的恒力作用；每當小球離開盒子，該力F同時立即消失．盒子的上表面開有一系列略大于小球的小孔，孔間距滿足一定的關系，使得小球進出盒子的過程中始終不與盒子接觸．當小球A以v=1m/s的速度從孔1進入盒子的瞬間，盒子B恰以v₀=6m/s的速度向右滑行．取重力加速度g=10m/s²，小球恰能順次從各個小孔進出盒子．試求：
（1）小球A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間；
（2）盒子上至少要開多少個小孔，才能保證小球始終不與盒子接觸；
（3）從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程．

Answer 1

分析 （1）小球A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間分為兩部分，A在盒子內運動時運動牛頓第二定律求出加速度，再用運動學基本公式求出時間，A在盒子外運動的時間根據(jù)運動學基本公式即可求得，時間之和即為經歷的總時間；
（2）分別求出小球在盒內和盒外時的盒子的加速度，進而求出小球運動一個周期盒子減少的速度，再求出從小球第一次進入盒子到盒子停下，小球運動的周期數(shù)n，要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數(shù)至少為2n+1個；
（3）分別求出盒子在每個周期內通過的距離，觀察數(shù)據(jù)特點，且當盒子停下時，小球恰要進入盒內，從而求出總位移．

解答 解：（1）A在盒子內運動時，根據(jù)牛頓第二定律有F-mg=ma 
解得：a=g  
A在盒子內運動的時間${t}_{1}=\frac{2v}{a}=\frac{2×1}{10}=0.2s$
A在盒子外運動的時間${t}_{2}=\frac{2v}{g}=\frac{2×1}{10}=0.2s$
A從第一次進入盒子到第二次進入盒子的時間T=t₁+t₂=0.2+0.2=0.4s
（2）小球在盒子內運動時，盒子的加速度${a}_{1}=\frac{μ（F+Mg）}{M}$=$\frac{0.2×（20+20）}{2}$=4m/s²   
小球在盒子外運動時，盒子的加速度${a}_{2}=\frac{μMg}{M}=0.2×10=2m/{s}^{2}$
小球運動一個周期盒子減少的速度為：△v=a₁t₁+a₂t₂=4×0.2+2×0.2m/s=1.2m/s．
從小球第一次進入盒子到盒子停下，小球運動的周期數(shù)為$n=\frac{{v}_{1}}{△v}=\frac{6}{1.2}=5$
故要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數(shù)至少為2n+1個，即11個．
（3）小球第一次在盒內運動的過程中，盒子前進的距離為${s}_{1}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=6×0.2-\frac{1}{2}×4×0．{2}^{2}=1.12m$
小球第一次從盒子出來時，盒子的速度v₁=v₀-a₁t₁=6-4×0.2=5.2m/s
小球第一次在盒外運動的過程中，盒子前進的距離為 ${s}_{2}={v}_{1}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$=$5.2×0.2-\frac{1}{2}×2×0．{2}^{2}=1m$
小球第二次進入盒子時，盒子的速度v₂=v₁-a₂t₂=5.2-0.4=4.8m/s
小球第二次在盒子內運動的過程中，盒子前進的距離為 
${s}_{3}={v}_{2}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$=$4.8×0.2-\frac{1}{2}×4×0．{2}^{2}=0.88m$
小球第二次從盒子出來時，盒子的速度v₃=v₂-a₁t₁=4.8-0.8=4m/s
小球第二次在盒外運動的過程中，盒子前進的距離為 ${s}_{4}={v}_{3}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$=$4×0.2-\frac{1}{2}×2×0．{2}^{2}=0.76m$
…
分析上述各組數(shù)據(jù)可知，盒子在每個周期內通過的距離為一等差數(shù)列，公差d=0.12m．且當盒子停下時，小球恰要進入盒內，最后0.2s內盒子通過的路程為0.04m．
所以從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程為
$s=\frac{n（{s}_{1}+{s}_{10}）}{2}=\frac{10×（1.12+0.04）}{2}=5.8m$
答：（1）小球A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間為0.4s．
（2）盒子上至少要開11個小孔，才能保證小球始終不與盒子接觸．
（3）從小球第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程為5.8m．

點評 該題是較為復雜的往復運動，要求同學們能正確分析每個過程的受力情況，求出加速度、時間和位移，還要善于觀察數(shù)據(jù)，總結數(shù)據(jù)之間的規(guī)律，要求較高，難度很大，屬于難題．