Question

16．太空探索逐漸成為世界各國新的科技競爭焦點，我國的載人航天已經取得了成功，探月計劃也已紀進入實質性的進程中，若月球繞地球運動的周期為T，線速度為v，引力常量為G，月球繞地球運動近似看作勻速圓周運動，下列說法正確的是（　　）

• A． 地球的質量為$\frac{4π{v}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 地球的質量為$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$
• C． 月球運動的速度為$\frac{vT}{2π}$
• D． 月球運動的加速度為$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 根據(jù)線速度與周期的關系可以求得月球運動的軌道半徑，再根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力由月球的半徑和周期求得地球的質量M．

解答 解：月球繞地球圓周運動的周期為T，線速度為v，因為$v=\frac{2πr}{T}$，可得月球圓周運動的半徑r=$\frac{vT}{2π}$
AB、據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得地球的質量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}=\frac{4{π}^{2}（\frac{vT}{2π}）^{3}}{G{T}^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$，故B正確，A錯誤；
C、月球運動的速度為v，月球運動軌道半徑為$\frac{vT}{2π}$，故C錯誤；
D、月球運動的加速度a=$\frac{{v}^{2}}{r}=\frac{{v}^{2}}{\frac{vT}{2π}}=\frac{2πv}{T}$，故D正確；
故選：BD．

點評 本題關鍵是抓住線速度與周期的有關系求得月球運動的半徑，再根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得地球的質量，根據(jù)向心力公式求得向心加速度．