Question

7．如今我國(guó)的“探月工程”計(jì)劃已經(jīng)進(jìn)入第三期工程，2013年12月“嫦娥三號(hào)”成功落月，落月之前“嫦娥三號(hào)”在距離月球表面高為h的軌道上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）若已知月球半徑為R_月，月球表面的重力加速度為g_月，則“嫦娥三號(hào)”環(huán)繞月球運(yùn)行的線速度是多少？
（2）若已知R_月=$\frac{1}{4}$R_地，g_月=$\frac{1}{6}$g_地，則近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度約為近地衛(wèi)星運(yùn)行速度的多少倍？

Answer 1

分析 嫦娥三號(hào)衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力定律與牛頓第二定律可以求出其線速度，求出線速度后再分析答題．

解答 解：萬(wàn)有引力提供嫦娥三號(hào)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力；
（1）由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（{R}_{月}+{h）}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{月}+h}$   ①
在月球表面的物體受到的重力等于月球?qū)λ�的萬(wàn)有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}_{月}^{2}}$=m′g_月   ②
由①②解得：v=$\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}_{月}^{2}}{{R}_{月}+h}}$；
（2）由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
萬(wàn)有引力等于重力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得：v=$\sqrt{gR}$，
近地衛(wèi)星線速度之比：$\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}$=$\frac{\sqrt{{g}_{月}{R}_{月}}}{{g}_{地}{R}_{地}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$；
答：（1）若已知月球半徑為R_月，月球表面的重力加速度為g_月，則“嫦娥三號(hào)”環(huán)繞月球運(yùn)行的線速度是$\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}_{月}^{2}}{{R}_{月}+h}}$；
（2）若已知R_月=$\frac{1}{4}$R_地，g_月=$\frac{1}{6}$g_地，則近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度約為近地衛(wèi)星運(yùn)行速度的$\frac{\sqrt{6}}{12}$倍．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，應(yīng)用萬(wàn)有引力定律公式、牛頓第二定律即可解題，解題時(shí)注意黃金代換：GM=gR²的應(yīng)用．