Question

18．在xOy平面第Ⅰ、Ⅳ象限內(nèi)，存在沿x軸正方向的勻強電場，在第Ⅱ、Ⅲ象限內(nèi)，存在垂直于xoy平面的勻強磁場，方向如圖所示，磁感應(yīng)強度B₁=B，兩帶電粒子a、b同時分別從第Ⅰ、Ⅳ象限的P、Q兩點（圖中沒有標出）由靜止釋放，經(jīng)時間 t同時進入勻強磁場中，且第一次經(jīng)過x軸時恰好都過點M（-$\sqrt{3}$l，0）．粒子a在M點時的速度方向與x軸正方向成60°角，且第一次在第Ⅱ、Ⅲ象限磁場中運動的時間分別為t、4t，不計粒子重力和兩粒子間相互作用．求：
（1）磁感應(yīng)強度B₂的大�。�
（2）b粒子在第Ⅲ象限磁場中運動的軌道半徑；
（3）若a、b兩粒子經(jīng)過M點時速度之比為2：1，求粒子b釋放位置Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）粒子進入磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運動規(guī)律求出軌跡半徑和周期．由幾何關(guān)系得到粒子運動的圓心角，得到兩個粒子在磁場中運動時間之比，即可求得B₂的大�。�
（2）粒子a在第二象限的半徑 r_a=$\frac{\sqrt{3}l}{sin60°}$=2l．對于兩個粒子：在電場中，根據(jù)牛頓第二定律、運動學(xué)公式得到速度與電場強度的關(guān)系，在磁場中，由牛頓第二定律得到軌跡半徑與速度的關(guān)系，聯(lián)立解得b粒子在第Ⅲ象限磁場中運動的軌道半徑．
（3）根據(jù)速度等于弧長與時間之比，求出兩個粒子在磁場中的速度之比，求出b粒子在磁場中的速度，由數(shù)學(xué)知識求出Q的坐標．

解答 解：（1）粒子進入磁場中：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得軌跡半徑r=$\frac{mv}{qB}$，周期 T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
由幾何知識可知，a粒子在第二象限運動的圓心角 θ₁=$\frac{2π}{3}$，運動時間 t₁=$\frac{1}{3}{T}_{1}$
在第三象限運動的圓心角 θ₂=$\frac{4π}{3}$，運動時間 t₂=$\frac{2}{3}{T}_{2}$
由題意可知：t₂=4t₁
所以有 B₂=$\frac{B}{2}$
（2）粒子a在第二象限的半徑 r_a=$\frac{\sqrt{3}l}{sin60°}$=2l
電場中：Eq=ma=m$\frac{v}{t}$   ①
磁場中：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ②
由①②聯(lián)立得 r=$\frac{Et}{B}$
則得粒子b在第三象限的半徑 r_b=2r_a=4l
（3）粒子a在磁場中速度 v_a=$\frac{{θ}_{1}{r}_{a}}{t}$=$\frac{4πl(wèi)}{3t}$
粒子b在磁場中速度 v_b=$\frac{1}{2}{v}_{a}$=$\frac{2πl(wèi)}{3t}$
Q點坐標：x=$\frac{{v}_t}{2}$=$\frac{πl(wèi)}{3}$，y=-（4l-$\sqrt{（4l）^{2}-（3l）^{2}}$）=$\sqrt{13}$l-4l
即Q點坐標（$\frac{πl(wèi)}{3}$，$\sqrt{13}$l-4l）．
答：（1）磁感應(yīng)強度B₂的大小為$\frac{B}{2}$；
（2）b粒子在第Ⅲ象限磁場中運動的軌道半徑為4l；
（3）若a、b兩粒子經(jīng)過M點時速度之比為2：1，粒子b釋放位置Q的坐標為（$\frac{πl(wèi)}{3}$，$\sqrt{13}$l-4l）．

點評 本題中求粒子在磁場中運動的時間，根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}$T，θ是軌跡對應(yīng)的圓心角，而軌跡對應(yīng)的圓心角等于速度的偏向角，這個規(guī)律經(jīng)常用到，要牢固掌握．