Question

18．設(shè)“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星距月球表面的高度為h，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)．已知月球半徑為R，引力常量為G．求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球表面的重力加速度g；
（3）月球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）“嫦娥二號(hào)”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，由此求月球的質(zhì)量M．
（2）在月球表面，物體所受的萬(wàn)有引力等于重力，可得月球表面的重力加速度g．
（3）已知月球的質(zhì)量和半徑，由密度表達(dá)式可得月球密度．

解答 解：（1）萬(wàn)有引力提供“嫦娥二號(hào)”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有
   G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
解得：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）由月球表面，萬(wàn)有引力等于重力，可得：
  G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
解得月球表面的重力加速度：g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
（3）月球的體積為：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
故月球的密度為：ρ=$\frac{M}{V}$
得 ρ=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{R}^{3}{T}^{2}}$．
答：
（1）月球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）月球表面的重力加速度為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$；
（3）月球的密度為$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{R}^{3}{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是利用好萬(wàn)有引力提供向心力這一思路，要熟練掌握星體表面萬(wàn)有引力等于重力這個(gè)結(jié)論，可變換為黃金代換，用途比較大．