Question

19．圖甲所示的平行板電容器板間距離為d，兩板所加電壓隨時(shí)間變化圖線如圖乙所示，t=0時(shí)刻，質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子以平行于極板的速度V₀射入電容器，t₁=3T時(shí)刻恰好從下極板邊緣射出電容器，帶電粒子的重力不計(jì)，求：
（1）平行板電容器板長(zhǎng)L
（2）粒子射出電容器時(shí)偏轉(zhuǎn)的角度φ
（3）粒子射出電容器時(shí)豎直偏轉(zhuǎn)的位移y．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中受電場(chǎng)力作用做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直電場(chǎng)方向粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解板長(zhǎng)L；
（2）根據(jù)電壓隨時(shí)間變化的圖象知，在T-2T時(shí)間內(nèi)板間無電場(chǎng)，粒子不受力做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的傾角；
（3）同樣根據(jù)有電場(chǎng)時(shí)粒子在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，沒有電場(chǎng)時(shí)在豎直方向做勻速運(yùn)動(dòng)，分三段考慮粒子偏轉(zhuǎn)的位移．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=3T，由題意知，帶電粒子在電場(chǎng)方向上做勻變速運(yùn)動(dòng)，在垂直電場(chǎng)方向上不受力做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以有：
平行板電容器極板長(zhǎng)度L=v₀t=3v₀T
（2）粒子在電容器中運(yùn)動(dòng)時(shí)，在電場(chǎng)方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，在垂直電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)電場(chǎng)圖象可知：
在0-T的時(shí)間里，粒子在電場(chǎng)方向（垂直板的方向）做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度a=$\frac{qU}{md}$，初速度為0，末速度為aT
在T-2T時(shí)間里，粒子不受電場(chǎng)力作用（垂直板的方向）粒子做速度v=aT的勻速直線運(yùn)動(dòng)
在2T-3T時(shí)間里，粒子在電場(chǎng)方向做初速度v=aT的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=$\frac{qU}{md}$
則末速度為2aT
所以粒子在垂直板的方向即y方向的末速度為v_y=2aT=2$\frac{qU}{md}$T
粒子在平行板的方向即x方向的末速度v_x=v₀
射出電容器時(shí)，偏轉(zhuǎn)角度為φ，則tanφ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{2qUT}{md{v}_{0}}$
故φ=arctan$\frac{2qUT}{md{v}_{0}}$
（3）由（2）分析知，粒子在0～T，垂直板的方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=$\frac{qU}{md}$，時(shí)間t=T，所以在y方向偏轉(zhuǎn)的位移y₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{U}9llzb3f×\frac{q}{m}$•T²
T～2T，垂直板的方向做初速度v=aT的勻速直線運(yùn)動(dòng)，則在y方向偏轉(zhuǎn)的位移y₂=vT=（aT）T=$\frac{qU}{md}$T²；
2T～3T，垂直板的方向做初速度v=aT，加速度a=$\frac{qU}{md}$的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
故在y方向偏轉(zhuǎn)的位y₃=vT+$\frac{1}{2}$aT²=（aT）T+$\frac{1}{2}$aT²=$\frac{3}{2}$$\frac{qU}{md}$T²
所以在粒子射出電場(chǎng)的3T時(shí)間內(nèi)豎直方向偏轉(zhuǎn)的位移y=y₁+y₂+y₃=$\frac{3qU{T}^{2}}{md}$
答：（1）平行板電容器板長(zhǎng)為3v₀T；
（2）粒子從射入到射出電容器時(shí)速度偏轉(zhuǎn)的角度φ為arctan$\frac{2qUT}{md{v}_{0}}$；
（3）粒子從射入到射出電容器時(shí)豎直方向偏轉(zhuǎn)的位移y為$\frac{3qU{T}^{2}}{md}$．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，分析粒子在豎直方向多過程的位移和速度，是解決本題的關(guān)鍵．