Question

10．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G．（忽略地球的自轉(zhuǎn)）
（1）求地球的平均密度ρ；
（2）我國(guó)自行研制的“神舟九號(hào)”載人飛船于2012年6月16日從中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心載人航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征二號(hào)F火箭發(fā)射升空．假設(shè)“神舟九號(hào)”飛船進(jìn)入預(yù)定軌道后繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行的周期是T，結(jié)合題干中所給的已知量，求飛船繞地球飛行時(shí)離地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地面附近重力等于萬有引力列式得到地球的質(zhì)量，根據(jù)密度的定義式求解地區(qū)的密度；
（2）利用萬有引力等于向心力列式求解地衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的高度．

解答 解：（1）地面附近重力等于萬有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
地球的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，根據(jù)ρ=$\frac{M}{V}$
聯(lián)立得：ρ=$\frac{3g}{4πGR}$
（2）由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$

得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
答：（1）地球的平均密度ρ是$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）飛船繞地球飛行時(shí)離地面的高度h是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵記住兩點(diǎn)：地面附近重力等于萬有引力；衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力等于向心力．