Question

5．如圖，在水平軌道右側(cè)固定半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長(zhǎng)度為l，水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)．可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊從軌道右側(cè)A點(diǎn)以初速度v₀沖上軌道，通過(guò)圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧，并被彈簧以原速率彈回．已知R=0.4m，l=2.5m，v₀=6m/s，物塊質(zhì)量m=1kg，與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，軌道其它部分摩擦不計(jì)．取g=10m/s²．求：

（1）物塊經(jīng)過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）物塊從Q運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間及彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能；
（3）物塊仍以v₀從右側(cè)沖上軌道，調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度l，當(dāng)l長(zhǎng)度是多少時(shí)，物塊恰能不脫離軌道返回A點(diǎn)繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析 （1）對(duì)從初始位置到圓弧軌道的最高點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解最高點(diǎn)的速度；在圓弧軌道的最高點(diǎn)，重力和彈力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解彈力；
（2）只有在PQ階段有機(jī)械能損失，對(duì)從Q到P過(guò)程，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，根據(jù)位移公式求解時(shí)間，根據(jù)速度公式求解末速度；從P點(diǎn)到最左端過(guò)程，彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能等于在P位置的動(dòng)能；
（3）先根據(jù)牛頓第二定律求解物體恰能經(jīng)過(guò)圓弧最高點(diǎn)的速度，然后對(duì)運(yùn)動(dòng)的全程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解l的距離．

解答 解：（1）物塊沖上圓形軌道最高點(diǎn)B時(shí)速度為v，由機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR$…①
物塊到B點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：$N+mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$…②
聯(lián)立①②式并代入數(shù)據(jù)解得N=40N…③
由牛頓第三定律，物塊對(duì)軌道壓力大小為40N，方向?yàn)樨Q直向上…④
（2）物塊在Q點(diǎn)時(shí)速度為v₀=6 m/s，在PQ運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：μmg=ma…⑤
由運(yùn)動(dòng)規(guī)律$l={v}_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑥
聯(lián)立⑤⑥式并代入數(shù)據(jù)解得在PQ段運(yùn)動(dòng)時(shí)間  t=0.5s…⑦
設(shè)物塊在P點(diǎn)時(shí)速度為v₁，有${{v}_{1}}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=-2μgl$…⑧
由能量守恒，物塊壓縮彈簧，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，有${E}_{Pm}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$…⑨
聯(lián)立⑧⑨式代入數(shù)據(jù)解得：E_pm=8J…⑩
（3）物塊以v₀沖上軌道直到回到PQ段右側(cè)Q點(diǎn)時(shí)速度為v₂，有$-2μmgl=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$⑪
  要使物塊恰能不脫離軌道返回A點(diǎn)，則物塊能沿軌道上滑至最高點(diǎn)且在最高點(diǎn)的速度大小為v₃，則滿足$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$…⑫
且$mg=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{R}$…⑬
聯(lián)立⑪⑫⑬式代入數(shù)據(jù)解得：L=1 m
答：（1）物塊經(jīng)過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力為40N；
（2）物塊從Q運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間及彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能為8J；
（3）物塊仍以v₀從右側(cè)沖上軌道，調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度l，當(dāng)l長(zhǎng)度是1m時(shí)，物塊恰能不脫離軌道返回A點(diǎn)繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、向心力公式、動(dòng)能定理、牛頓第二定律，以及知道小球不脫離圓軌道的條件，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．