Question

14．如圖所示，豎直平面內(nèi)的軌道由足夠長的光滑斜面軌道AB和半徑為R的光滑半圓形軌道BD連接而成，B為半圓形軌道的最低點，D為半圓形軌道的最高點，重力加速度為g，讓質(zhì)量為m的小球從斜面上某點由靜止開始釋放：
（1）若小球的釋放點離圓形軌道最低點B的高度為h₁=3R，求：小球通過半圓形軌道的最高點D時軌道對小球的壓力F_N的大小．
（2）要使小球能夠通過半圓形軌道的最高點D，問：小球的釋放點離圓形軌道最低點B的高度h應滿足什么條件？
（3）要使小球在半圓形軌道上離最低點B高為h₃=$\frac{5R}{3}$處的C點脫離圓軌道，求：小球的釋放點離圓形軌道最低點B的高度h₂應為多大？

Answer 1

分析 （1）從小球開始運動到到達D點過程機械能守恒，由機械能守恒定律可以求出小球到達D點的速度，在D點由牛頓第二定律可以求出作用力．
（2）求出小球通過最高點時的臨界速度，然后應用機械能守恒定律求出釋放點的最小高度，然后確定其范圍．
（3）由牛頓第二定律求出小球到達C點的速度，然后應用機械能守恒定律求出釋放點的高度．

解答 解：（1）小釋放小球到D點過程機械能守恒，
由機械能守恒定律得：mg（h₁-2R）=$\frac{1}{2}$mv²，
在D點，由牛頓第二定律得：F_N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：F_N=mg；
（2）小釋放小球到D點過程機械能守恒，
由機械能守恒定律得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv_D²，
小球到達D點速度最小時，重力提供向心力，
在D點，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，
解得：h=2.5R，
要使小球能夠通過半圓形軌道的最高點D，h≥2.5R；
（3）小球從C點脫離軌道，在C點軌道對小球的作用力為零，受力如圖所示：
由幾何知識可知：cosθ=$\frac{\frac{5R}{3}-R}{R}$=$\frac{2}{3}$，
在C點，由牛頓第二定律得：mgcosθ=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
小釋放小球到C點過程機械能守恒，
由機械能守恒定律得：mg（h₂-$\frac{5R}{3}$）=$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：h₂=2R；
答：（1）小球通過半圓形軌道的最高點D時軌道對小球的壓力F_N的大小為mg；
（2）小球的釋放點離圓形軌道最低點B的高度h應滿足的條件是：h≥2.5R；
（3）小球的釋放點離圓形軌道最低點B的高度h₂應為2R．

點評 本題考查了機械能守恒定律的應用，分析清楚小球的運動過程，應用機械能守恒定律與牛頓第二定律即可解題，解題時注意小球做圓周運動臨界條件的應用．