Question

7．如圖所示，在半徑為R=$\frac{mv0}{Bq}$的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓形區(qū)域右側(cè)有一豎直感光板，圓弧頂點(diǎn)P有一速率為v₀的帶正電的粒子平行于紙面進(jìn)入磁場(chǎng)，已知粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，粒子重力不計(jì)．
（1）若粒子對(duì)準(zhǔn)圓心射入，求它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）若粒子對(duì)準(zhǔn)圓心射入，且速率為$\sqrt{3}$v₀，求它打到感光板上時(shí)速度與豎直感光板的夾角；
（3）若粒子以速率v₀從P點(diǎn)以與PQ夾角θ射入，求它打到感光板上時(shí)速度與豎直感光板的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，從而根據(jù)幾何關(guān)系求出圓弧的圓心角大小，通過弧長(zhǎng)和速度求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）若粒子對(duì)準(zhǔn)圓心射入，且速率為$\sqrt{3}$v₀，軌道半徑變?yōu)樵瓉?lái)的$\sqrt{3}$倍，通過幾何關(guān)系求出圓弧的圓心角，然后求出它打到感光板上時(shí)速度與豎直感光板的夾角．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，然后求出它打到感光板上時(shí)速度與豎直感光板的夾角．

解答 解：（1）設(shè)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，由牛頓第二定律得：
Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=R，
帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為四分之一圓周，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為$\frac{π}{2}$．則它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{2qB}$；
（2）由（1）知，當(dāng)v=$\sqrt{3}$v₀時(shí)，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為$\sqrt{3}$R，
其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
由幾何關(guān)系可知∠PO₂O=∠OO₂A=30°，
所以帶電粒子離開磁場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)角為60°，
粒子打到感光板上時(shí)速度與豎直感光板的夾角為60°；
（3）由（1）知，當(dāng)帶電粒子以v₀射入時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R，
設(shè)粒子射入方向與PO方向之間的夾角為θ，帶電粒子從區(qū)域邊界S射出，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
因PO₃=O₃S=PO=SO=R，
所以四邊形POSO₃為菱形，由幾何關(guān)系可知：PO∥O₃S
在S點(diǎn)的速度方向與O₃S垂直，
即粒子打到感光板上時(shí)速度與豎直感光板的夾角為90°；
答：（1）若粒子對(duì)準(zhǔn)圓心射入，它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$\frac{πm}{2qB}$；
（2）若粒子對(duì)準(zhǔn)圓心射入，且速率為$\sqrt{3}$v₀，它打到感光板上時(shí)速度與豎直感光板的夾角60°；
（3）若粒子以速率v₀從P點(diǎn)以與PQ夾角θ射入，它打到感光板上時(shí)速度與豎直感光板的夾角90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式．本題對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．