Question

19．如圖所示，左側(cè)豎直墻面上固定不計(jì)為R=0.3m的光滑半圓環(huán)，右側(cè)豎直墻面上與圓環(huán)的圓心O等高處固定一光滑直桿．質(zhì)量為m_a=100g的小球a套在半圓環(huán)上，質(zhì)量為m_b=36g的滑塊b套在直桿上，二者之間用長(zhǎng)為l=0.4m的輕桿通過(guò)兩鉸鏈連接．現(xiàn)將a從圓環(huán)的最高處由靜止釋放，使a沿圓環(huán)自由下滑，不計(jì)一切摩擦，a、b均視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球a滑到與圓心O等高的P點(diǎn)時(shí)的向心力大小；
（2）小球a從P點(diǎn)下滑至桿與圓環(huán)相切的Q點(diǎn)的過(guò)程中，桿對(duì)滑塊b做的功．

Answer 1

分析 （1）不計(jì)一切摩擦，a沿圓環(huán)自由下滑的過(guò)程中，a、b及桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出小球a滑到與圓心O等高的P點(diǎn)時(shí)的速度，再由向心力公式求解．
（2）小球a從P點(diǎn)下滑至桿與圓環(huán)相切的Q點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)桿不可伸長(zhǎng)和縮短，兩球沿桿的速度相等列式，得到兩球速度關(guān)系式，再結(jié)合機(jī)械能守恒定律求出b球此時(shí)的速度，即可由動(dòng)能定理求得桿對(duì)b球做的功．

解答 解：（1）當(dāng)a滑到與O同高度P點(diǎn)時(shí)，a的速度v沿圓環(huán)切向向下，b的速度為零，
由機(jī)械能守恒定律可得：m_agR=$\frac{1}{2}$m_av²；
解得：v=$\sqrt{2gR}$
對(duì)小球a受力分析，由牛頓第二定律可得：F=$\frac{{m}_{a}{v}^{2}}{R}$=2m_ag=2N
（2）桿與圓相切時(shí)，如圖所示，a的速度沿桿方向，設(shè)此時(shí)b的速度為v_b，根據(jù)桿不可伸長(zhǎng)和縮短，有：v_a=v_bcosθ

由幾何關(guān)系可得：cosθ=$\frac{L}{\sqrt{{L}^{2}+{R}^{2}}}$=0.8
在圖中，球a下降的高度 h=Rcosθ
a、b系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有：m_agh=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{v}_^{2}$-$\frac{1}{2}$m_av²；
對(duì)滑塊b，由動(dòng)能定理得：W=$\frac{1}{2}{m}_{v}_^{2}$=0.1944J
答：
（1）小球a滑到與圓心O等高的P點(diǎn)時(shí)的向心力大小是2N；
（2）小球a從P點(diǎn)下滑至桿與圓環(huán)相切的Q點(diǎn)的過(guò)程中，桿對(duì)滑塊b做的功是0.1944J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了機(jī)械能守恒和動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵要知道a、b組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，抓住a、b沿桿方向的分速度相等進(jìn)行求解．