Question

15．如圖，光滑水平地面上有一固定墻壁，緊靠墻面左側(cè)停放一長為L=1m，質(zhì)量為M=0.2kg的長木板，在距長木板左端為kL（0＜k＜0.5）處放置著A、B兩小木塊，A、B質(zhì)量均為m=0.2kg．某時(shí)刻，A、B在強(qiáng)大內(nèi)力作用下突然分開，分開瞬間A的速度為v_A=4m/s，方向水平向左． B與墻壁碰撞瞬間不損失機(jī)械能，A、B與長木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ_A=0.2和μ_B=0.3．
（1）求AB分離瞬間，B的速度v₁；
（2）若k=0.39，求A離開木板時(shí)，B的速度大小v₂；
（3）若最終B能夠相對(duì)木板靜止，則k應(yīng)滿足什么條件，并求出最終B所停位置距木板左端距離s和k的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）在A、B分離瞬間，A、B系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解；
（2）在A離開木板前，B對(duì)木板向右的摩擦力大于A對(duì)木板向左的摩擦力，所以此時(shí)木板處于靜止?fàn)顟B(tài)．對(duì)A，從與B分離到離開木板過程中，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，再結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解；
（3）先根據(jù)動(dòng)能定理判斷B能不能在撞墻前停止，再根據(jù)木板與B構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒、能量守恒列式求解．

解答 解：（1）在A、B分離瞬間，A、B系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有
mv_A=mv₁
解得：v₁=4m/s
（2）在A離開木板前，B對(duì)木板向右的摩擦力大于A對(duì)木板向左的摩擦力，所以此時(shí)木板處于靜止?fàn)顟B(tài)．對(duì)A，從與B分離到離開木板過程中，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，有
μ_Amg=ma_A
解得：${a}_{A}=2m/{s}^{2}$
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式得：
$kL={v}_{A}t-\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$
解得：t=0.1s
此過程中，B與A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，假設(shè)此時(shí)B還沒有撞到墻壁．有
μ_Bmg=ma_B
解得：${a}_{B}=3m/{s}^{2}$
根據(jù)v₂=v₁-a_Bt
解得：v₂=3.7m/s
而${s}_{B}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}t=0.385m＜（1-k）L$
假設(shè)成立，即此時(shí)B速度為v₂=3.7m/s
（3）假設(shè)B能在撞到墻壁前停止，則有：
$-{μ}_{B}mgs=0-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$                                 
解得   s=5.3m＞L，即B不可能在撞墻前停止．             
B撞到墻壁前瞬間速度為v_B，則：
$-{μ}_{B}mg（1-k）L=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$                  
B撞墻以后后，若B剛好不滑落，則B滑至木板左端時(shí)恰好最終達(dá)到共同速度v，木板與B構(gòu)成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒、能量守恒，有
mv_B=（m+M）v，
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{\;}}^{2}+{μ}_{B}mgL$                          
解得$k=\frac{1}{3}$
即若木塊B不從木板上滑落，需要滿足：$k≤\frac{1}{3}$
若停在距左端為S處，則對(duì)木板與B，由能量守恒得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{\;}}^{2}+{μ}_{B}mg（L-s）$                    
解得 $s=\frac{1}{6}-\frac{k}{2}$，即最終物塊B停在距左端為$s=\frac{1}{6}-\frac{k}{2}$處．
答：（1）AB分離瞬間，B的速度v₁為4m/s；
（2）若k=0.39，求A離開木板時(shí)，B的速度大小v₂為3.7m/s；
（3）若最終B能夠相對(duì)木板靜止，則k應(yīng)滿足$k≤\frac{1}{3}$，最終B所停位置距木板左端距離s和k的關(guān)系式為$s=\frac{1}{6}-\frac{k}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式，關(guān)鍵是正確分析木塊和木板的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，能選擇合適的定理求解，難度較大．