Question

11．如圖所示，一光滑水平桌面AB與一半徑為R的光滑半圓形軌道相切于C點(diǎn)，且兩者固定不動(dòng)．一長(zhǎng)為L(zhǎng)=10R的細(xì)繩，一端固定于O點(diǎn)，另一端系一個(gè)質(zhì)最為m₁的球．當(dāng)球在豎直方向靜止時(shí)，球?qū)λ�平桌面的作用力剛好為零．現(xiàn)將球提起使細(xì)繩處于水平位置時(shí)無(wú)初速度釋放．當(dāng)球m₁擺至最低點(diǎn)時(shí)，恰與放在桌面上的質(zhì)量為m₂的球發(fā)生彈性正碰，碰后m₂將沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，恰好能通過(guò)最高點(diǎn)D．不計(jì)空氣阻力，球可視為質(zhì)點(diǎn)，求$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$的大小．

Answer 1

分析 m₂沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，恰好能通過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律再次列式．對(duì)球m₂從C到D的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式．球m₁下落的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式．對(duì)于碰撞過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式，最后聯(lián)立求解．

解答 解：設(shè)球m₁和球m₂碰撞前，球m₁的速度為v，碰撞后，球m₁的速度為v₁，球m₂的速度為v₂．m₂通過(guò)最高點(diǎn)的速度為v₃．
在D點(diǎn)，對(duì)于m₂有：m₂g=m₂$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$ 
解得：v₃=$\sqrt{gR}$ 
對(duì)于m₂在由C運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律有：
  2m₂gR+$\frac{1}{2}$m₂v₃²=$\frac{1}{2}$m₂v₂²
對(duì)于球m₁下落的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒有：
  m₁gL=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$
其中 L=10R
兩球發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)能量守恒有：
 $\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{2}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{3}^{2}$
取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
  m₁v=m₁v₂+m₂v₂；
聯(lián)立解得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{1}{3}$
答：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$的大小為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要把握各個(gè)過(guò)程和狀態(tài)的條件和規(guī)律，知道球m₂恰好能通過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)，由重力充當(dāng)向心力．彈性碰撞遵守兩大守恒：動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律．