Question

19．如圖所示，是采砂場(chǎng)裝運(yùn)河砂的示意圖，砂子通過(guò)砂斗滑落到水平傳送帶上，最終與傳送帶一起做勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)右端主動(dòng)輪軸正上方的A點(diǎn)時(shí)，恰好水平拋出并落在下面的貨車車箱中心．已知傳送帶長(zhǎng)l=10m，砂子與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，傳送帶與貨車底板間的高度差為h=1.8m，傳送帶的主動(dòng)輪和從動(dòng)輪半徑R=0.4m，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）傳送帶的速度v及主動(dòng)輪軸與貨車車箱中心的水平距離x；
（2）砂子在平直傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（3）砂斗以20kg/s的流量向傳送帶上裝砂子，為了保持傳送帶速率不變，驅(qū)動(dòng)傳送帶的電動(dòng)機(jī)因此應(yīng)增加的功率是多少？

Answer 1

分析 （1）砂子到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，恰好水平拋出，在A點(diǎn)，傳送帶對(duì)砂子沒有支持力，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求v．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求水平距離x．
（2）砂子在傳送帶先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)．先由牛頓第二定律求得加速度，由速度公式求勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，并求得勻加速運(yùn)動(dòng)的位移，得到勻速運(yùn)動(dòng)的位移，從而求得勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可求得總時(shí)間t．
（3）傳送帶需要增加的能量分為兩部分：第一部分為砂子獲得的動(dòng)能，第二部分為摩擦產(chǎn)生的熱量．根據(jù)能量守恒定律求出增加的能量，從而得出增加的功率．

解答 解：（1）據(jù)題，在A點(diǎn)，有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
則得 v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
砂子平拋過(guò)程，有
   h=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$
   x=vt′
聯(lián)立解得 x=1.2m
（2）砂子勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s²；
勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{2}{5}$=0.4s
勻加速運(yùn)動(dòng)的位移 x₁=$\frac{v{t}_{1}}{2}$=$\frac{2×0.4}{2}$m=0.4m
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₂=$\frac{l-{x}_{1}}{v}$=$\frac{10-0.4}{2}$=4.8s
故砂子在平直傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t=t₁+t₂=5.2s
（3）砂子相對(duì)傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)，砂子與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移大小為：
△x=vt₁-x₁=$\frac{v{t}_{1}}{2}$=$\frac{2×0.4}{2}$m=0.4m
根據(jù)動(dòng)能定理知：fx₁=$\frac{1}{2}△m{v}^{2}$
產(chǎn)生的熱量為：Q=f△x=fx₁=$\frac{1}{2}$△mv²；
根據(jù)能量守恒定律得，增加的能量為：△E=Q+$\frac{1}{2}$△mv²=△mv²．
則驅(qū)動(dòng)傳送帶的電動(dòng)機(jī)增加的功率為：△P=$\frac{△E}{△t}$=$\frac{△m{v}^{2}}{△t}$=20×2²W=80W．
答：
（1）傳送帶的速度v是2m/s，主動(dòng)輪軸與貨車車箱中心的水平距離x是1.2m；
（2）砂子在平直傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t是5.2m；
（3）為了保持傳送帶速率不變，驅(qū)動(dòng)傳送帶的電動(dòng)機(jī)因此應(yīng)增加的功率是80W．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚砂子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要知道電動(dòng)機(jī)增加的能量等于摩擦產(chǎn)生的熱量和砂子獲得的動(dòng)能之和．