Question

11．如圖所示，坐標(biāo)平面的第Ⅰ象限內(nèi)存在大小為E、方向水平向左的勻強(qiáng)電場，第Ⅱ象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場．足夠長的擋板MN垂直x軸放置且距原點O的距離為d．一質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子若自距原點O為L的A點以大小為v₀，方向沿y軸正方向的速度進(jìn)入磁場，則粒子恰好到達(dá)O點而不進(jìn)入電場．現(xiàn)該粒子仍從A點進(jìn)入磁場，但初速度大小v=2v₀．粒子重力不計，該粒子擊中擋板后立即被檔板吸附．為使粒子進(jìn)入電場后能垂直打在擋板上，求：
（1）粒子在A點剛進(jìn)入磁場時，其速度v的方向與x軸正方向之間的夾角；
（2）粒子到達(dá)擋板上時的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，對兩次兩次粒子過程分別運用洛倫茲力提供向心力，再結(jié)合幾何關(guān)系即可；
（2）水平方向進(jìn)入電廠后，兩種情況粒子運動情況一樣，運用動能定理解決即可．

解答 解：（1）設(shè)速度為v₀時進(jìn)入磁場后做圓周運動的半徑為r，設(shè)速度為v時進(jìn)入磁場做圓周運動的半徑r′
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ ①
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$ ②
可得：
r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$ ③
r′=$\frac{mv}{qB}$ ④
根據(jù)幾何關(guān)系有：r=$\frac{L}{2}$ ⑤
根據(jù)已知有：v=2v₀ ⑥
聯(lián)立①②③④⑤⑥式子可得：r′═$\sqrt{2}$L
有兩種情況，軌跡如圖所示，設(shè)其速度方向與x軸正方向之間的夾角為θ
由圖中的幾何關(guān)系有：cosθ═$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以可得：θ=45°或θ=135°
（2）為使粒子進(jìn)入電場后能垂直打在擋板上，則要求粒子進(jìn)入電場時速度方向與x軸正方向平行，設(shè)粒子到達(dá)擋板上時的速度大小為v′
如圖所示．粒子進(jìn)入電場后由動能定理有：-qEd=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$m（2v₀）²
得v′=$\sqrt{{4v}_{0}^{2}-\frac{2qEd}{m}}$
答：（1）粒子在A點剛進(jìn)入磁場時，其速度v的方向與x軸正方向之間的夾角為45°或135°；
（2）粒子到達(dá)擋板上時的速度大小為$\sqrt{{4v}_{0}^{2}-\frac{2qEd}{m}}$．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動和電場中的運動，磁場運動洛倫茲力提供向心力和幾何關(guān)系結(jié)合，電場中粒子運動方向與電場線共線，運用動能定理解決，注意第一問有兩種情況．