Question

4．一物體沿直線運動．
（1）若它在前一半時間內的平均速度為v₁，后一半時間的平均速度為v₂，則全程的平均速度為多大？
（2）若它在前一半路程的平均速度為v₁，后一半路程的平均速度為₂，則全程的平均速度多大？
（3）試比較兩次平均速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）已知路程與運動時間，由平均速度公式可以求出汽車的平均速度．
（2）由速度公式的變形公式求出汽車的運動時間，然后由平均速度公式求出全程的平均速度．
（3）通過作商的方法可比較出兩次的平均速度．

解答 解：（1）前一半時間和后一半時間相同設為t，由s=vt可知，前一半時間通過位移為：
x₁=v₁t
后一半時間通過位移為：
x₂=v₂t
全程平均速度為：
v=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2t}=\frac{{v}_{1}t+{v}_{2}t}{2t}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$
（2）設總路程為2s，則前半段與后半段的路程都是s，
由v=$\frac{s}{t}$可知，
汽車的運動時間：
t₁=$\frac{s}{{v}_{1}}$，t₂=$\frac{s}{{v}_{2}}$，
總的運動時間：t=t₁+t₂，
全程的平均速度：$\overline{v}=\frac{2s}{t}=\frac{2s}{\frac{s}{{v}_{1}}+\frac{s}{{v}_{2}}}=\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$
（3）$\frac{v}{\overline{v}}$=$\frac{\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}}{\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}}$=$\frac{{（{v}_{1}+{v}_{2}）}^{2}}{4{v}_{1}{v}_{2}}$＞1；
故第一種情況下的平均速度大；
答：（1）若它在前一半時間內的平均速度為v₁，后一半時間的平均速度為v₂，則全程的平均速度為$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$
（2）若它在前一半路程的平均速度為v₁，后一半路程的平均速度為₂，則全程的平均速度$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$
（3）第一種情況的平均速度大于第二種情況下的平均速度．

點評 本題考查了求汽車的平均速度問題，熟練應用平均速度公式及其變形公式即可正確解題，解題時要注意，平均速度是物體的路程與所用時間的比值，求平均速度應先求出路程與所對應的運動時間．