Question

3．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy的第二象限內(nèi)存在場強大小為E，方向與x軸平行且沿x軸負(fù)方向的勻強電場，在第一、三、四象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里的勻強磁場．現(xiàn)將一擋板放在第二象限內(nèi)，其與x，y軸的交點M、N到坐標(biāo)原點的距離均為2L．一質(zhì)量為m，電荷量絕對值為q的帶負(fù)電粒子在第二象限內(nèi)從距x軸為L、距y軸為2L的A點由靜止釋放，當(dāng)粒子第一次到達(dá)y軸上C點時電場突然消失．若粒子重力不計，粒子與擋板相碰后電荷量及速度大小不變，碰撞前后，粒子的速度與擋板的夾角相等（類似于光反射時反射角與人射角的關(guān)系）．求：
（1）C點的縱坐標(biāo)．
（2）若要使粒子再次打到檔板上，磁感應(yīng)強度的最大值為多少？
（3）磁感應(yīng)強度為多大時，粒子與檔板總共相碰兩次后到達(dá)C點？這種情況下粒子從A點出發(fā)到第二次到達(dá)C點的時間多長？

Answer 1

分析 （1）粒子向沿著+x方向做勻加速直線運動，然后碰撞后做類似平拋運動，根據(jù)動能定理和類似平拋運動的分位移公式列式求解即可；
（2）若要使粒子再次打到檔板上，臨界情況是軌跡圓經(jīng)過C點，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解軌道半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強度的最大值；
（3）畫出臨界軌跡，粒子經(jīng)過坐標(biāo)原點后射向極板并反彈，再次經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后沿著直線射向C點，結(jié)合幾何關(guān)系求解出軌道半徑，然后分階段求解運動的時間．

解答 解：（1）設(shè)粒子與板作用前瞬間速率為v₀，由動能定理，有：
qEL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$
解得：
${v}_{0}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
粒子與板碰撞后在電場中做類似平拋運動，設(shè)到達(dá)y軸時與C點的豎直距離為y，
在x軸方向，有：$L=\frac{qE}{2m}{t}^{2}$
在y軸方向，有：y=v₀t 
由以上二式得到：t=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，y=2L
故粒子第一次到達(dá)y軸時距坐標(biāo)原點為：y′=y+L=3L
（2）粒子到C點時，x軸方向的速度分量為：${v}_{x}=at=\frac{qE}{m}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
此時速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$
設(shè)v與x軸正方向的夾角為θ，有：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，故θ=45°
粒子進入磁場后將做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)過270°后打在板上的N點時，磁感應(yīng)強度B₁為最大，有：
${r}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}L$
又$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，故B₁=$\frac{mv}{q{r}_{1}}$=2$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$
（3）當(dāng)磁感應(yīng)強度的大小為B₂時，粒子做半徑為r₂的圓周運動，到達(dá)y軸上的O點之后，沿著直線運動打到板上，故：
${r}_{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}L$
同理${B}_{2}=\frac{mv}{q{r}_{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$
此后粒子返回O點，進入磁場后做勻速圓周運動，由對稱性可知粒子將到達(dá)D點，接著做直線運動再次到達(dá)C點，從A到板，有：
L=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{{t}_{1}}^{2}$，故t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
在磁場中做勻速圓周運動的時間：t₂=$\frac{3}{2}T=\frac{3}{2}×\frac{2π{r}_{2}}{v}$=$\frac{9π}{4}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
從O到板再返回O點做勻速直線運動時間為：${t}_{3}=\frac{2\sqrt{2}L}{v}=\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
從x軸上D點做勻速直線運動到C點的時間為：${t}_{4}=\frac{3\sqrt{2}L}{v}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
故t_總=t+t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{9（2+π）}{4}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
答：（1）C點的縱坐標(biāo)為（0，3L）．
（2）若要使粒子再次打到檔板上，磁感應(yīng)強度的最大值為2$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$；
（3）磁感應(yīng)強度為$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$時，粒子與檔板總共相碰兩次后到達(dá)C點；這種情況下粒子從A點出發(fā)到第二次到達(dá)C點的時間為$\frac{9（2+π）}{4}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$．

點評 本題關(guān)鍵是明確粒子的受力情況和運動情況，分直線加速、類似平拋運動、勻速圓周運動和勻速直線運動過程進行分析，切入點是畫出臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑．