Question

20．如圖所示，真空中有以（r，0）為圓心、半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y=r的上方足夠大的范圍內(nèi)，有方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，從O點(diǎn)向不同方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡均在紙面內(nèi)．設(shè)質(zhì)子在磁場(chǎng)中的軌道半徑也為r，已知質(zhì)子的電量為e，質(zhì)量為m，不計(jì)重力及阻力的作用．求：
（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小；
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時(shí)間；
（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)，并畫出質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求速度．
（2）質(zhì)子沿x軸正向射入磁場(chǎng)后經(jīng)$\frac{1}{4}$圓弧后以速度v垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=$\frac{1}{4}$T；進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可求得總時(shí)間．
（3）若質(zhì)子速度方向與x軸正方向成30°角射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過120°角后從P點(diǎn)垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)，畫出軌跡，由幾何關(guān)系的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$①
解得：v=$\frac{Ber}{m}$②；
（2）質(zhì)子沿x軸正向射入磁場(chǎng)后經(jīng)$\frac{1}{4}$圓弧后以速度v垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}×\frac{2πm}{Be}=\frac{πm}{2Be}$③
進(jìn)入電場(chǎng)后做拋物線運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)r后到達(dá)y軸，
因此有：t₂=$\sqrt{\frac{2r}{a}}=\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$④
質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2Be}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$⑤
（3）質(zhì)子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過120°角后從P點(diǎn)垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)，如圖所示．
P點(diǎn)距y軸的距離x₁=r+r•sin30°=1.5r ⑥
因此可得質(zhì)子從進(jìn)入電場(chǎng)至到達(dá)y軸所需時(shí)間為：t₃=$\sqrt{\frac{3mr}{eE}}$⑦
質(zhì)子在電場(chǎng)中沿y軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
因此有：y′=vt₃=Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$⑧
質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為：y=r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$⑨
答：（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小是$\frac{Ber}{m}$；
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時(shí)間為$\frac{πm}{2Be}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$；
（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖中所示）射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)是（0，r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況和基本公式，明確帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)和電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)，靈活應(yīng)用幾何關(guān)系求解，屬于中等難度的題目．