Question

如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠(yuǎn)小于R）固定，小球a、b大小相同，質(zhì)量相同，均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運(yùn)動．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球a在最低點(diǎn)時(shí)，小球b在最高點(diǎn)，以下說法正確的是（　�。�

• A．速度v至少為

  5gr

  ，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動?
• B．當(dāng)v=

  4gr

  時(shí)，小球b在軌道最高點(diǎn)對軌道無壓力?
• C．當(dāng)小球b在最高點(diǎn)對軌道無壓力時(shí)，小球a比小球b所需向心力大5mg
• D．只要v≥

  5gr

  ，小球a對軌道最低點(diǎn)壓力比小球b對軌道最高點(diǎn)壓力都大6mg

Answer 1

分析：要使小球能通過最高點(diǎn)，只要小球的速度大于零即可；而當(dāng)向心力等于重力時(shí)，小球?qū)�軌道沒有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點(diǎn)時(shí)速度；再由機(jī)械能守恒可求得小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度，及最低點(diǎn)時(shí)所需要的向心力，即可求得最低點(diǎn)與最高點(diǎn)處壓力的差值．

解答：A、因小球在管內(nèi)轉(zhuǎn)動，則內(nèi)管可對小球提供向上的支持力，故可看作是桿模型；
故小球的最高點(diǎn)的速度只要大于零，小球即可通過最高點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
B、當(dāng)小球?qū)�軌道無壓力時(shí)，則有：mg=m

v12

R

，則v1=

gR

．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得，

1

2

mv12+mg2R=

1

2

mv2，解得v=

5gR

．故B錯(cuò)誤．
C、在最高點(diǎn)無壓力時(shí)，向心力F₁=mg；最低點(diǎn)時(shí)，向心力F2=m

v2

R

=5mg，小球a比小球b所需向心力大4mg．故C錯(cuò)誤．
D、只要v≥

5gr

，小球在最高點(diǎn)所受的彈力方向向下，在最高點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)₁+mg=m

v12

R

，在最低點(diǎn)有：F2-mg=m

v22

R

，由機(jī)械能守恒可得：mg2R=

1

2

mv22-

1

2

mv12，聯(lián)立三式得，F(xiàn)₂-F₁=6mg，壓力之差都等于6mg．故D正確．
故選D．

點(diǎn)評：小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動，若是用繩拴著，只有重力小于等于向心力時(shí)，小球才能通過最高點(diǎn)；而用桿或在管內(nèi)運(yùn)動的小球，只要速度大于零，小球即可通過最高點(diǎn)．