Question

如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠(yuǎn)小于R），小球a、b大小相同，質(zhì)量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運(yùn)動(dòng)．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球a在最低點(diǎn)時(shí)，小球b在最高點(diǎn)，以下說法正確的是（　　）

• A．當(dāng)小球b在最高點(diǎn)對(duì)軌道無壓力時(shí)，小球a比小球b所需向心力大5mg
• B．當(dāng)v=

  5gR

  時(shí)，小球b在軌道最高點(diǎn)對(duì)軌道無壓力
• C．當(dāng)v=

  gR

  時(shí)，兩球在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最大高度均為

  1

  2

  R
• D．只要v≥

  5gR

  ，小球a對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力比小球b對(duì)軌道最高點(diǎn)的壓力都大6mg

Answer 1

分析：要使小球能通過最高點(diǎn)，只要小球的速度大于零即可；而當(dāng)向心力等于重力時(shí)，小球?qū)�軌道沒有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點(diǎn)時(shí)速度；再由機(jī)械能守恒可求得小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度，及最低點(diǎn)時(shí)所需要的向心力，即可求得最低點(diǎn)與最高點(diǎn)處壓力的差值．

解答：解：A、B、在最高點(diǎn)，當(dāng)小球?qū)�軌道無壓力時(shí)，則有：mg=m

v 2 1

R

；
解得：v₁=

gR

；
由機(jī)械能守恒定律可得，mg?2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
求得小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度v₂=

5gR

，故最低點(diǎn)速度至少為

5gR

，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)速度為

5gR

時(shí)，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道無壓力；
在最高點(diǎn)無壓力時(shí)，向心力F₁=mg；
最低點(diǎn)時(shí)，向心力F₂=m

v 2 2

R

=5mg；即a球比b球所需向心力大4mg；故A錯(cuò)誤，故B正確；
C、當(dāng)v=

gR

時(shí)，兩球均不能到達(dá)最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理，有：mgh=

1

2

mv2
又v=

gR

故h=0.5R，故C正確；
D、在最高點(diǎn)時(shí)，T₁+mg=m

v 2 1

R

；解得T₁=m

v 2 1

R

-mg； 
最低點(diǎn)時(shí)，T₂-mg=m

v 2 2

R

；解得T₂=m

v 2 2

R

+mg；
T₂-T₁=2mg+m

v 2 2

R

-m

v 2 1

R

；
由機(jī)械能守恒可得：mg?2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
可得：m

v 2 2

R

-m

v 2 1

R

=4mg；
則可得：T₂-T₁=6mg；即只要能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，壓力之差都等于6mg；故D正確；
故選BCD．

點(diǎn)評(píng)：小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，若是用繩拴著只有重力小于等于向心力時(shí)，小球才能通過；而用桿或在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球，只要速度大于零，小球即可通過最高點(diǎn)．