Question

如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠(yuǎn)小 于R），小球a、b大小相同，質(zhì)量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運(yùn)動(dòng)．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球a在最低點(diǎn)時(shí)，小球b在最高點(diǎn)，以下說法正確的是（　�。�

• A．當(dāng)小球b在最高點(diǎn)對(duì)軌道無壓力時(shí)，小球a比小球b所需向心力大5mg
• B．當(dāng)v=

  5gR

  時(shí)，小球b在軌道最高點(diǎn)對(duì)軌道有壓力
• C．速度v至少為

  5gR

  ，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)
• D．只要v≥

  5gR

  ，小球a對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力比小球b對(duì)軌道最高點(diǎn)的壓力大6mg

Answer 1

分析：要使小球能通過最高點(diǎn)，只要小球的速度大于零即可；而當(dāng)向心力等于重力時(shí)，小球?qū)�軌道沒有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點(diǎn)時(shí)速度；再由機(jī)械能守恒可求得小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度，及最低點(diǎn)時(shí)所需要的向心力，即可求得最低點(diǎn)與最高點(diǎn)處壓力的差值．

解答：解：A、b在最高點(diǎn)無壓力時(shí)，向心力F₁=mg；a在最低點(diǎn)時(shí)，向心力F₂=m

v2

R

=5mg；即a球比b球所需向心力大4mg；故A錯(cuò)誤；
B、當(dāng)小球?qū)�軌道無壓力時(shí)，則有：mg=m

v12

R

，解得：v₁=

gR

；即當(dāng)速度為

gR

時(shí)，小球在軌道最高點(diǎn)對(duì)軌道無壓力；
由機(jī)械能守恒定律可得，mg2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
求出小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度v₂=

5gR

，當(dāng)速度為

5gR

時(shí)，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道無壓力；故B正確；
C、因小球在管內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，則內(nèi)管可對(duì)小球提供向上的支持力，故可看作是桿模型；
故小球的最高點(diǎn)的速度只要大于等于零，小球即可通過最高點(diǎn)，結(jié)合B項(xiàng)分析可知C錯(cuò)誤；
D、在最高點(diǎn)時(shí)，T₁+mg=m

v12

R

最低點(diǎn)時(shí)，T₂-mg=m

v22

R

T₂-T₁=2mg+m（

v22

R

-

v12

R

）
由機(jī)械能守恒定律可得，mg2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
要使小球a對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力比小球b對(duì)軌道最高點(diǎn)的壓力大6mg，則要m（

v22

R

-

v12

R

）=4mg，由A分析可知當(dāng)b在最高點(diǎn)無壓力時(shí)，m（

v22

R

-

v12

R

）=4mg，再根據(jù)B項(xiàng)分析可知，當(dāng)速度為

5gR

時(shí)，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道無壓力，則當(dāng)v≥

5gR

，小球a對(duì)軌道最低點(diǎn)的壓力比小球b對(duì)軌道最高點(diǎn)的壓力大6mg，故D正確．
故選BD

點(diǎn)評(píng)：小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，若是用繩拴著只有重力小于等于向心力時(shí)，小球才能通過；而用桿或在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球，只要速度大于零，小球即可通過最高點(diǎn)．