Question

如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一個(gè)半徑為R且光滑的四分之一圓弧軌道AB，軌道下端B與水平面BCD相切，BC部分光滑且長度大于R，C點(diǎn)右邊粗糙程度均勻且足夠長．現(xiàn)用手捏住一根長也為R、質(zhì)量為m的柔軟勻質(zhì)細(xì)繩的上端，使繩子的下端與A點(diǎn)等高，然后由靜止釋放繩子，讓繩子沿軌道下滑．重力加速度為g．求：

（1）繩子前端到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）若繩子前端在過C點(diǎn)后，滑行s距離后停下，而且s＞R，試計(jì)算繩子與粗糙平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)．

Answer 1

分析：繩子從A處靜止釋放，滑下光滑的圓弧軌道后，又滑上光滑水平面BC，接著進(jìn)入粗糙的CD面．將繩子看成質(zhì)點(diǎn)，只有重力做功，由機(jī)械能守恒定律可求出到達(dá)C點(diǎn)的速度大�。�
當(dāng)繩子滑上粗糙水平CD面時(shí)，在剛進(jìn)入過程中，摩擦力在均勻增加，當(dāng)完全進(jìn)入后，摩擦力才恒定，所以運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)，注意取摩擦力的平均值．

解答：解：（1）繩子由釋放到前段達(dá)C點(diǎn)過程中，
由機(jī)械能守恒定律得：mg(R+0.5R)=

1

2

m

v

2 c

解得：

v

c

=

3gR

（2）繩子前端滑過C點(diǎn)后，其受到的摩擦力先均勻增大，其平均值為

1

2

μmg，
前端滑行R后摩擦力不變，其值為 μmg  
由動(dòng)能定理得：-

1

2

μmgR-μmg(s-R)=0-

1

2

m

v

2 c

把

v

c

=

3gR

代入上式解得：μ=

3R

2s-R

答：（1）繩子前端到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小

3gR

（2）繩子與粗糙平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為

3R

2s-R

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)不考慮繩子長度時(shí)，可將其看成質(zhì)點(diǎn)，但此處請(qǐng)注意是當(dāng)繩子看成質(zhì)點(diǎn)時(shí)的高度．而當(dāng)繩子進(jìn)入粗糙水平面時(shí)，不能將繩子看成質(zhì)點(diǎn)，同時(shí)在剛進(jìn)入粗糙面時(shí)，摩擦力在均勻增加．