Question

1．如圖所示，在xOy平面內(nèi)存在均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的磁場(chǎng)和電場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖乙、丙所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向、+y軸方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的正方向）．在t=0時(shí)刻由原點(diǎn)O發(fā)射初速度大小為v₀，方向沿+y軸方向的帶負(fù)電粒子（不計(jì)重力）．其中已知v₀、t₀、B₀、E₀，且E₀=$\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{π}$，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{{B}_{0}{t}_{0}}$，x軸上有一點(diǎn)A，坐標(biāo)為（$\frac{{48{v_0}{t_0}}}{π}$，0）．

（1）求$\frac{t_0}{2}$時(shí)帶電粒子的位置坐標(biāo)．
（2）粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中偏離x軸的最大距離．
（3）粒子經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間經(jīng)過(guò)A點(diǎn)．

Answer 1

分析 根據(jù)洛倫茲力提供向心力和周期公式求粒子的坐標(biāo)；畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，據(jù)此求粒子的最大距離；根據(jù)左周期性運(yùn)動(dòng)的周期，和一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離求時(shí)間．

解答 解：（1）在0～t₀時(shí)間內(nèi)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：
$qBv{\;}_0=m{r_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}=m\frac{v_0^2}{r_1}$
得：$T=\frac{2πm}{{q{B_0}}}=2{t_0}$${r_1}=\frac{{m{v_0}}}{{q{B_0}}}=\frac{{{v_0}{t_0}}}{π}$
則在$\frac{t_0}{2}$時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角$α=\frac{π}{2}$
所以在$t=\frac{t_0}{2}$時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)為：（$\frac{{{v_0}{t_0}}}{π}，\frac{{{v_0}{t_0}}}{π}$）
（2）在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)，粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后的速度為v，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

$v={v_0}+\frac{{{E_0}q}}{m}{t_0}=2{v_0}$
運(yùn)動(dòng)的位移：$x=\frac{{{v_0}+v}}{2}{t_0}=1.5{v_0}{t_0}$
在2t₀～3t₀時(shí)間內(nèi)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑：${r_2}=2{r_1}=\frac{{2{v_0}{t_0}}}{π}$
故粒子偏離x軸的最大距離：$h=x+{r_2}=1.5{v_0}{t_0}+\frac{{2{v_0}{t_0}}}{π}$
（3）粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)周期為4t₀
一個(gè)周期內(nèi)向右運(yùn)動(dòng)的距離：$d=2{r_1}+2{r_2}=\frac{{6{v_0}{t_0}}}{π}$
AO間的距離為：$\frac{{48{v_0}{t_0}}}{π}=8d$
所以，粒子運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的時(shí)間為：t=32t₀
答：（1）在$t=\frac{t_0}{2}$時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)（$\frac{{{v_0}{t_0}}}{π}，\frac{{{v_0}{t_0}}}{π}$）；
（2）粒子偏離x軸的最大距離$h=x+{r_2}=1.5{v_0}{t_0}+\frac{{2{v_0}{t_0}}}{π}$；
（3）粒子運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的時(shí)間32t₀．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)等共存的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其受力情況和運(yùn)動(dòng)圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類(lèi)問(wèn)題．