Question

3．如圖所示，在無限長的水平邊界AB和CD間有一勻強(qiáng)電場，同時(shí)在AEFC、BEFD區(qū)域分別存在水平向里和向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同，EF為左右磁場的分界線．AB邊界上的P點(diǎn)到邊界EF的距離為（2+$\sqrt{3}$）L．一帶正電微粒從P點(diǎn)的正上方的O點(diǎn)由靜止釋放，從P點(diǎn)垂直AB邊界進(jìn)入電、磁場區(qū)域，且恰好不從AB邊界飛出電、磁場．已知微粒在電、磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，重力加速度大小為g，電場強(qiáng)度大小E（E未知）和磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B（B未知）滿足$\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，不考慮空氣阻力，求：
（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E的大小和方向；
（2）O點(diǎn)距離P點(diǎn)的高度h多大；
（3）若微粒從O點(diǎn)以v₀=$\sqrt{3gL}$水平向左平拋，且恰好垂直下邊界CD射出電、磁場，則微粒在電、磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t多長？

Answer 1

分析 （1）微粒在進(jìn)入電磁場前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在電磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場力與重力應(yīng)平衡，據(jù)此分析和求解場強(qiáng)的大小和方向．
（2）微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)速率v₁時(shí)恰好與AB相切，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌跡半徑；由洛倫茲力公式和牛頓第二定律求出軌跡半徑．微粒在進(jìn)入電磁場前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可以求出O到P的距離h；
（3）微粒在進(jìn)入電磁場前做平拋運(yùn)動(dòng)，在電磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出微粒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：微粒帶電量為q、質(zhì)量為m，軌跡為圓弧，必有qE=mg．
則 E=$\frac{mg}{q}$，E的方向：豎直向上   
（2）微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)速率v₁時(shí)恰好與AB相切，如圖所示，O₁、O₂為微粒運(yùn)動(dòng)的圓心，O₁O₂與豎直方向夾角為θ，由幾何知識(shí)知sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
微粒半徑r₁，由幾何關(guān)系有r₁+r₁sinθ=（2+$\sqrt{3}$）L，得r₁=2L．
由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有 qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
由動(dòng)能定理有 mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²；
已知 $\frac{E}{B}$=2$\sqrt{gL}$，聯(lián)立解得 h=$\frac{1}{2}$L
（2）微粒平拋到AB邊界上的M點(diǎn)的時(shí)間為t₁，水平距離x₁，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有x₁=v₀t₁，h=$\frac{1}{2}$gt₁²
代入v₀=$\sqrt{3gL}$、h=$\frac{1}{2}$L，得t₁=$\sqrt{\frac{L}{g}}$、x₁=$\sqrt{3}$L．
微粒在M點(diǎn)時(shí)豎直分速度 v₁=$\sqrt{gL}$，速度為 v=2$\sqrt{gL}$、與AB夾角為 θ=30°．微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)半徑 r₂=4L．由幾何關(guān)系知微粒從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)30°垂直到達(dá)EF邊界．
微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)周期 T=$\frac{2π{r}_{2}}{v}$=4π$\sqrt{\frac{L}{g}}$
由題意有微粒運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{1}{3}$T+k•$\frac{T}{2}$，（k=0，1，2，…）
微粒運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2π（$\frac{2}{3}+k$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$．（k=0，1，2，…）
答：
（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E的大小為$\frac{mg}{q}$，E的方向：豎直向上；
（2）O點(diǎn)距離P點(diǎn)的高度h為$\frac{1}{2}$L；
（3）微粒在電、磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為2π（$\frac{2}{3}+k$）$\sqrt{\frac{L}{g}}$．（k=0，1，2，…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求距離、微粒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題，分析清楚微粒運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可正確解題，關(guān)鍵要抓住圓周運(yùn)動(dòng)的周期性．