Question

8．宇航員在某行星上自地面高h處自由釋放一物體，落到行星表面的時間為t，已知行星的半徑R，行星質(zhì)量分布均勻，萬有引力常量為G，求：
（1）該行星的質(zhì)量及密度分別為多大？
（2）若一顆衛(wèi)星繞該行星運轉(zhuǎn)的角速度為ω，則衛(wèi)星距行星表面的高度H為多大？

Answer 1

分析 （1）先由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，求出行星表面重力加速度．再根據(jù)星球表面重力與萬有引力相等，列式即可求出該行星的質(zhì)量；進一步求出密度．
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，由衛(wèi)星的角速度求得衛(wèi)星的軌道半徑，再根據(jù)軌道半徑求得離地高度．

解答 解：（1）設(shè)行星表面重力加速度為g．
由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
得 g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
設(shè)一質(zhì)量m的物體在該行星的表面上時，行星的萬有引力等于其重力，則得
  mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
可得行星的質(zhì)量 M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
密度為 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3h}{2πGR{t}^{2}}$
（2）設(shè)該衛(wèi)星距行星表面高度為h，
根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星向心力有：
  G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mω²（R+h）
又GM=gR²；
聯(lián)立解得 h=$\root{3}{\frac{2h{R}^{2}}{{ω}^{2}{t}^{2}}}$-R；
答：（1）該行星的質(zhì)量$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$，密度為$\frac{3h}{2πGR{t}^{2}}$；
（2）若一顆衛(wèi)星繞該行星運轉(zhuǎn)的角速度為ω，則衛(wèi)星距行星表面的高度為$\root{3}{\frac{2h{R}^{2}}{{ω}^{2}{t}^{2}}}$-R．

點評 本題的入手主要圍繞萬有引力等于星球表面重力，和萬有引力提供衛(wèi)星圓周運動向心力．掌握規(guī)律是正確解題的關(guān)鍵．