Question

20．豎直平面內(nèi)有一直角形內(nèi)徑相同的細(xì)玻璃管，A端封閉，C端開口，最初AB段處于水平狀態(tài)，中間有一段水銀將氣體封閉在A端，各部分尺寸如圖所示，外界大氣壓強(qiáng)p₀=75cmHg．
（1）若從右側(cè)緩慢注入一定量的水銀，可使封閉氣體的長(zhǎng)度減小為20cm，需要注入水銀的總長(zhǎng)度為多少？
（2）若將玻璃管繞經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的水平軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，當(dāng)AB段處于豎直、BC段處于水平位置時(shí)，封閉氣體的長(zhǎng)度變?yōu)槎嗌伲?

Answer 1

分析 （1）根據(jù)玻意耳定律求出末態(tài)氣體的壓強(qiáng)，求出豎直管中水銀柱高度，再根據(jù)幾何關(guān)系求注入水銀的總長(zhǎng)度
（2）轉(zhuǎn)動(dòng)90°后，根據(jù)玻意耳定律求管中水銀長(zhǎng)度，根據(jù)幾何關(guān)系求封閉氣體的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）由玻意耳定律${p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}={P}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}$，
得到$（{p}_{0}^{\;}+ρg{h}_{1}^{\;}）•{L}_{1}^{\;}S={p}_{2}^{\;}•{L}_{2}^{\;}S$
解得p₂=125cmHg
根據(jù) ${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+{h}_{2}^{\;}$
右側(cè)水銀總高度h₂=50cm
注入水銀的總長(zhǎng)度為（h₂-h₁）+（L₁-L₂）=30cm
（2）設(shè)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°后，水銀未溢出，且AB部分留有x長(zhǎng)度的水銀，
玻意耳定律：$（{p}_{0}^{\;}+ρg{h}_{1}^{\;}）•{L}_{1}^{\;}S=（{p}_{0}^{\;}-x）•（{L}_{1}^{\;}+{l}_{1}^{\;}-x）S$
代入數(shù)據(jù)，得到（75+25）×25S=（75-x）×（25+25-x）S
變形為x²-125x+1250=0
解得$x=\frac{125±25\sqrt{17}}{2}$＞0，假設(shè)成立！
$x=\frac{125+25\sqrt{17}}{2}$不合題意，舍去．
末態(tài)氣體長(zhǎng)度${L}_{3}^{\;}={L}_{1}^{\;}+{l}_{1}^{\;}-x=39.04cm$
答：（1）需要注入水銀的總長(zhǎng)度30cm
（2）封閉氣體的長(zhǎng)度變?yōu)?9.04cm

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是求解出封閉氣體壓強(qiáng)，根據(jù)幾何關(guān)系求氣體的體積，然后根據(jù)玻意耳定律多次列式求解．