Question

17．如圖所示，水平放置的光滑絕緣桿上B點(diǎn)的正上方O點(diǎn)固定一個帶電量為Q=+6.0×10^-8C的點(diǎn)電荷，BO相距h=0.24m，B點(diǎn)左側(cè)的A點(diǎn)處套有一個帶電量為q=-5.0×10^-9C、質(zhì)量為m=2.0×10^-4kg帶電小圓環(huán)，已知∠OAB=37°．C為桿上B點(diǎn)右側(cè)的另一點(diǎn)，∠OCB=53°．已知由點(diǎn)電荷+Q產(chǎn)生的電場中，距離該點(diǎn)電荷為r處的電勢為φ=k$\frac{Q}{r}$，其中k為靜電力恒量，k=9.0×10⁹N×m²/C²．（sin37°=0.6，sin53°=0.8）．試問：
（1）點(diǎn)電荷Q在A、C三點(diǎn)產(chǎn)生的電勢φ_A、φ_C分別多大？
（2）將帶電小圓環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，它到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度多大？
（3）若將圓環(huán)帶電量改為q′=+1.0×10^-8C，并給其一個指向C點(diǎn)的初速度，則初速度v₀至少多大才能使其到達(dá)C點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）由數(shù)學(xué)知識得到A、B、C三點(diǎn)到Q點(diǎn)電荷的距離r，由$φ=k\frac{Q}{r}$求出三點(diǎn)的電勢．
（2）帶電小圓環(huán)從A點(diǎn)到C點(diǎn)的過程中，電場力做功qU_AC=q（φ_A-φ_C），其他力不做功，根據(jù)動能定理求解到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度．
（3）圓環(huán)改為帶正電后，沿桿向右運(yùn)動時(shí)先要克服電場力做功到達(dá)B點(diǎn)，然后電場力做正功使其到達(dá)C點(diǎn)，圓環(huán)至少要能到達(dá)B點(diǎn)，即到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度應(yīng)等于零，根據(jù)動能定理研究圓環(huán)從A到B的過程，求解初速度．

解答 解：（1）根據(jù)題給公式$φ=k\frac{Q}{r}$，有
${φ_A}=k\frac{Q}{{\frac{h}{{sin{{37}°}}}}}=k\frac{{Qsin{{37}°}}}{h}=9.0×{10^9}×\frac{{6.0×{{10}^{-8}}×0.6}}{0.24}V=1350V$

${φ_C}=k\frac{Q}{{\frac{h}{{sin{{53}°}}}}}=k\frac{{Qsin{{53}°}}}{h}=9.0×{10^9}×\frac{{6.0×{{10}^{-8}}×0.8}}{0.24}V=1800V$
（2）設(shè)圓環(huán)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v_C，根據(jù)動能定理，有
  $q{U_{AC}}=\frac{1}{2}m{v_C}^2$
即$q（{{φ_A}-{φ_C}}）=\frac{1}{2}m{v_C}^2$
得${v_C}=\sqrt{\frac{{2q（{{φ_A}-{φ_C}}）}}{m}}=\sqrt{\frac{{2×（{-5.0×{{10}^{-9}}}）（{1350-1800}）}}{{2.0×{{10}^{-4}}}}}m/s=0.15m/s$
（3）圓環(huán)改為帶正電后，沿桿向右運(yùn)動時(shí)先要克服電場力做功到達(dá)B點(diǎn)，然后電場力做正功使其到達(dá)C點(diǎn)，所以對圓環(huán)初速度v₀的要求是至少要能到達(dá)B點(diǎn)，即到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度應(yīng)等于零．
B點(diǎn)的電勢：${φ_B}=k\frac{Q}{h}=9.0×{10^9}×\frac{{6.0×{{10}^{-8}}}}{0.24}V=2250V$
根據(jù)動能定理，有$q'{U_{AB}}=0-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
即$q'（{{φ_B}-{φ_A}}）=\frac{1}{2}m{v_0}^2$
${v_B}=\sqrt{\frac{{2q'（{{φ_B}-{φ_A}}）}}{m}}=\sqrt{\frac{{2×1.0×{{10}^{-8}}×（{2250-1350}）}}{{2.0×{{10}^{-4}}}}}m/s=0.30m/s$
所以初速度v₀至少為0.30m/s才能使其到達(dá)C點(diǎn)．
答：（1）點(diǎn)電荷Q在A、B、C三點(diǎn)產(chǎn)生的電勢φ_A、φ_C分別是1350V和1800V．
（2）將帶電小圓環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，它到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度是0.15m/s．
（3）若將圓環(huán)帶電量改為qˊ=+1.0×10^-8C，初速度v₀至少為0.30m/s才能使其到達(dá)C點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題是信息題，要抓住題給的公式$φ=k\frac{Q}{r}$求解電勢，可確定電勢差，求出電場力做功．第3問，要注意分析臨界條件．