Question

5．如圖所示，一豎直放置的圓環(huán)，半徑為R，左側(cè)PAB光滑，右側(cè)PCB粗糙，A，C與圓心O等高，輕彈簧a一端固定于最高點(diǎn)O，另一端系一個(gè)有孔，質(zhì)量為m的小球，小球套于圓環(huán)上，現(xiàn)將小球置于A點(diǎn)由靜止釋放，小球第1次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)速度為$\sqrt{gR}$，切與圓環(huán)剛好無(wú)作用力，之后因有摩擦（動(dòng)摩擦因數(shù)較小，但不能忽略）小球能運(yùn)動(dòng)到右側(cè)的最高點(diǎn)C₁，C₂，C₃…的高度逐漸降低，重力加速度為g．
（1）求小球第1次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)彈簧彈力F；
（2）求從A點(diǎn)靜止開(kāi)始到第1次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的過(guò)程中，彈性勢(shì)能的變化量△_Ep；
（3）若僅將彈簧a換成原長(zhǎng)為2R的彈簧b，仍將小球置于A點(diǎn)由靜止釋放，測(cè)得小球第1次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)的壓力為5mg，第k次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)到右側(cè)的最高點(diǎn)C_K位置時(shí)，彈簧b與豎直方向成30°角，彈性勢(shì)能時(shí)最大彈性勢(shì)能的0.21倍，求此時(shí)已產(chǎn)生的內(nèi)能Q_K．

Answer 1

分析 （1）受力分析，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可求解
（2）由機(jī)械能守恒定律即可求解
（3）先求出最大彈性勢(shì)能，然后根據(jù)動(dòng)能定理即可求解

解答 解：（1）由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
F-mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：
F=2mg
（2）由機(jī)械能守恒得
mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+△E_p
代入數(shù)據(jù)解得
△E_p=$\frac{1}{2}mgR$
（3）小球A到達(dá)B點(diǎn)后彈簧為原長(zhǎng)，此時(shí)由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律
5mg-mg=$\frac{mv{′}^{2}}{R}$
彈簧位于A點(diǎn)時(shí)有最大彈性勢(shì)能，由機(jī)械能守恒得：
E_p+mgR=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
解得：E_p=mgR
對(duì)小球從B開(kāi)始到C_k過(guò)程由動(dòng)能定理得：
0-$\frac{1}{2}mv{′}^{2}{=}_{\;}$-mgR（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-Q_k-0.21E_p
解得：Q_k=$\frac{79+50\sqrt{3}}{100}$mgR
答：（1）求小球第1次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)彈簧彈力F為2mg
（2）求從A點(diǎn)靜止開(kāi)始到第1次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的過(guò)程中，彈性勢(shì)能的變化量為$\frac{1}{2}$mgR；
（3）此時(shí)已產(chǎn)生的內(nèi)能為$\frac{79+50\sqrt{3}}{100}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 題是一道綜合題，綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理以及功能關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵熟練這些定理、定律的運(yùn)用．