Question

19．如圖所示，A、B兩物體與一輕質(zhì)彈簧相連，靜止在地面上，有一小物體C從距物體A高度為h處由靜止釋放，當(dāng)下落至與A相碰后立即粘在一起向下運動，以后不再分開，當(dāng)A與C運動到最低點后又向上運動，到最高點時物體B對地面剛好無壓力．設(shè)A、B、C三物體的質(zhì)量均為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，不計空氣阻力且彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．已知彈簧的彈性勢能由彈簧勁度系數(shù)和形變量大小決定，重力加速度為g，求：
（1）當(dāng)C與A碰撞前瞬間的速度大小；
（2）物體C下落時的高度h與m、k之間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系；
（3）在C運動過程中，B對地面最大壓力的大�。�

Answer 1

分析 （1）與A碰撞前，C物體做自由落體運動，由動能定理或機械能守恒可求得C與A碰撞前瞬間的速度大�。�
（2）C與A碰撞，可用動量守恒定律求粘在一起時的共同速度；當(dāng)A與C運動到最高時，B對地面無壓力，可用平衡條件和牛頓第二定律求出此時的加速度，再結(jié)合機械能守恒列方程求解h與m、k的關(guān)系式．
（3）B對地面的最大壓力發(fā)生在A、C運動到最低點的時候，根據(jù)簡諧運動的對稱性：最低點振子的加速度與最高點的加速度大小相等，方向相反，得到最低點的加速度，再由牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）C自由下落的過程，由機械能守恒定律有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{2gh}$
（2）C與A碰撞過程，取向下為正方向，由動量守恒定律有：
mv=2mv₁；
要使C對地面的壓力恰好為零，彈簧必須由壓縮態(tài)變?yōu)樯扉L態(tài)，彈簧開始時和最高點時的形變量相同，為：
x=$\frac{mg}{k}$
碰撞后系統(tǒng)的機械能守恒，選碰撞位置為重力勢能的參考平面，則有：
$\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}+{E}_{P}$+0=0+E_P+2mg•2x
解得：h=$\frac{8mg}{k}$
（3）B對地面的最大壓力發(fā)生在A、C運動到最低點的時候，根據(jù)簡諧運動的對稱性，最低點振子的加速度與最高點的加速度大小相等，方向相反
最高點振子的加速度設(shè)為a，對AC整體，由牛頓第二定律有：3mg=2ma，
得：a=1.5g
最低點的彈簧彈力設(shè)為F，對AC整體，由牛頓第二定律有：F-2mg=2ma
解得：F=5mg
B受力平衡，有：N=mg+F=6mg
即B對地面的最大壓力大小為6mg．
答：（1）當(dāng)C與A碰撞前瞬間的速度大小是$\sqrt{2gh}$；
（2）物體C下落時的高度h與m、k之間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系是$\frac{8mg}{k}$；
（3）在C運動過程中，B對地面最大壓力的大小是6mg．

點評 本題的過程較復(fù)雜，關(guān)鍵是理清過程，正確地受力分析，運用動量守恒定律、牛頓第二定律和機械能守恒定律進行研究．對于簡諧運動，往往要抓住對稱性分析．