Question

9．如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.3T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在半徑R=0.20m的圓形區(qū)城內(nèi)，圓的水平直徑上方豎直分界線MN的左側(cè)有水平向右的勻強(qiáng)電楊，豎直分界線MN右側(cè)有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電揚(yáng)強(qiáng)度大小均為E=4$\sqrt{3}$×10⁴V/m，在圓的水平直徑AOC的A點(diǎn)有一粒子源，同時(shí)沿直徑AO方向射出速度分別為v₁=$\sqrt{3}$×10⁶m/s和v₂=3$\sqrt{3}$×10⁶m/s的帶正電的兩個(gè)粒子，如果粒子的比荷$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg，且不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用．求：
（1）兩個(gè)粒子分別離開(kāi)磁揚(yáng)后進(jìn)人電場(chǎng)時(shí)的位置到圓形磁場(chǎng)水平直徑的距離；
（2）兩個(gè)粒子第二次到達(dá)電楊邊界時(shí)的位置到圓形磁場(chǎng)水平直徑的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑以及圓心角，結(jié)合幾何關(guān)系求出進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的位置到水平直徑的距離
（2）進(jìn)入電場(chǎng)的粒子處理方法是分解為垂直電場(chǎng)線方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿電場(chǎng)方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求出時(shí)間和位移，即可求解出到水平直徑的距離

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$R=\frac{mv}{qB}$
兩粒子半徑分別為${R}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{qB}=\frac{\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}}{5.0×1{0}_{\;}^{7}×0.3}=\frac{\sqrt{3}}{15}m$
${R}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{2}^{\;}}{qB}=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
粒子1圓弧所對(duì)的圓心角為${θ}_{1}^{\;}$粒子2圓弧所對(duì)的圓心角為${θ}_{2}^{\;}$
由幾何關(guān)系有$tan\frac{{θ}_{1}^{\;}}{2}=\frac{R}{{R}_{1}^{\;}}$，$tan\frac{{θ}_{2}^{\;}}{2}=\frac{R}{{R}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)解得${θ}_{1}^{\;}=120°$
${θ}_{2}^{\;}=60°$
畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖如圖
粒子1離開(kāi)磁場(chǎng)進(jìn)入左邊電場(chǎng)，離子2離開(kāi)磁場(chǎng)進(jìn)入右邊磁場(chǎng)，進(jìn)入電場(chǎng)的位置距水平直徑等高
根據(jù)幾何關(guān)系$tan60°=\frac{l}{R}$
解得$l=\sqrt{3}R=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
（2）兩粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，將運(yùn)動(dòng)分解為垂直電場(chǎng)線和平行電場(chǎng)線處理
${v}_{1⊥}^{\;}={v}_{1}^{\;}cos30°=1.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$         ${v}_{2⊥}^{\;}={v}_{2}^{\;}cos30°=4.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$
${v}_{1∥}^{\;}={v}_{1}^{\;}sin30°=\frac{\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/s$         ${v}_{2∥}^{\;}={v}_{2}^{\;}sin30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/s$
粒子加速度，根據(jù)牛頓第二定律qE=ma
$a=\frac{qE}{m}=2\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{12}m/{s}_{\;}^{2}$
${t}_{1}^{\;}=\frac{2{v}_{1∥}^{\;}}{a}=5×1{0}_{\;}^{-7}s$
粒子1垂直電場(chǎng)線方向的位移${y}_{1}^{\;}={v}_{1⊥}^{\;}{t}_{1}^{\;}=\frac{3}{4}m$
粒子2運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}^{\;}=\frac{2{v}_{2∥}^{\;}}{a}=1.5×1{0}_{\;}^{-6}s$
粒子2垂直電場(chǎng)線方向的位移${y}_{2}^{\;}={v}_{2⊥}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{27}{4}m$
粒子1到水平直徑的距離$△{x}_{1}^{\;}=l+{y}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{3}{4}=\frac{4\sqrt{3}+15}{20}m$
粒子2到水平直徑的距離$△{x}_{2}^{\;}=l+{y}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{27}{4}=\frac{4\sqrt{3}+135}{20}m$
答：（1）兩個(gè)粒子分別離開(kāi)磁揚(yáng)后進(jìn)人電場(chǎng)時(shí)的位置到圓形磁場(chǎng)水平直徑的距離均為$\frac{\sqrt{3}}{5}$m；
（2）兩個(gè)粒子第二次到達(dá)電楊邊界時(shí)的位置到圓形磁場(chǎng)水平直徑的距離分別為$\frac{4\sqrt{3}+15}{20}m$．$\frac{4\sqrt{3}+135}{20}m$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清物理情景，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求解，記住半徑和周期公式．