Question

9．如圖所示，磁感應(yīng)強度大小B=0.3T、方向垂直紙面向里的勻強磁場分布在半徑R=0.20m的圓形區(qū)城內(nèi)，圓的水平直徑上方豎直分界線MN的左側(cè)有水平向右的勻強電楊，豎直分界線MN右側(cè)有水平向左的勻強電場，電揚強度大小均為E=4$\sqrt{3}$×10⁴V/m，在圓的水平直徑AOC的A點有一粒子源，同時沿直徑AO方向射出速度分別為v₁=$\sqrt{3}$×10⁶m/s和v₂=3$\sqrt{3}$×10⁶m/s的帶正電的兩個粒子，如果粒子的比荷$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg，且不計粒子重力及粒子間的相互作用．求：
（1）兩個粒子分別離開磁揚后進人電場時的位置到圓形磁場水平直徑的距離；
（2）兩個粒子第二次到達電楊邊界時的位置到圓形磁場水平直徑的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子在圓形磁場中運動的半徑以及圓心角，結(jié)合幾何關(guān)系求出進入電場時的位置到水平直徑的距離
（2）進入電場的粒子處理方法是分解為垂直電場線方向的勻速直線運動和沿電場方向的勻變速直線運動，利用運動學(xué)規(guī)律求出時間和位移，即可求解出到水平直徑的距離

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$R=\frac{mv}{qB}$
兩粒子半徑分別為${R}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{qB}=\frac{\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}}{5.0×1{0}_{\;}^{7}×0.3}=\frac{\sqrt{3}}{15}m$
${R}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{2}^{\;}}{qB}=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
粒子1圓弧所對的圓心角為${θ}_{1}^{\;}$粒子2圓弧所對的圓心角為${θ}_{2}^{\;}$
由幾何關(guān)系有$tan\frac{{θ}_{1}^{\;}}{2}=\frac{R}{{R}_{1}^{\;}}$，$tan\frac{{θ}_{2}^{\;}}{2}=\frac{R}{{R}_{2}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)解得${θ}_{1}^{\;}=120°$
${θ}_{2}^{\;}=60°$
畫出運動的軌跡圖如圖
粒子1離開磁場進入左邊電場，離子2離開磁場進入右邊磁場，進入電場的位置距水平直徑等高
根據(jù)幾何關(guān)系$tan60°=\frac{l}{R}$
解得$l=\sqrt{3}R=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
（2）兩粒子進入電場后，將運動分解為垂直電場線和平行電場線處理
${v}_{1⊥}^{\;}={v}_{1}^{\;}cos30°=1.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$         ${v}_{2⊥}^{\;}={v}_{2}^{\;}cos30°=4.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$
${v}_{1∥}^{\;}={v}_{1}^{\;}sin30°=\frac{\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/s$         ${v}_{2∥}^{\;}={v}_{2}^{\;}sin30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/s$
粒子加速度，根據(jù)牛頓第二定律qE=ma
$a=\frac{qE}{m}=2\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{12}m/{s}_{\;}^{2}$
${t}_{1}^{\;}=\frac{2{v}_{1∥}^{\;}}{a}=5×1{0}_{\;}^{-7}s$
粒子1垂直電場線方向的位移${y}_{1}^{\;}={v}_{1⊥}^{\;}{t}_{1}^{\;}=\frac{3}{4}m$
粒子2運動時間${t}_{2}^{\;}=\frac{2{v}_{2∥}^{\;}}{a}=1.5×1{0}_{\;}^{-6}s$
粒子2垂直電場線方向的位移${y}_{2}^{\;}={v}_{2⊥}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{27}{4}m$
粒子1到水平直徑的距離$△{x}_{1}^{\;}=l+{y}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{3}{4}=\frac{4\sqrt{3}+15}{20}m$
粒子2到水平直徑的距離$△{x}_{2}^{\;}=l+{y}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{27}{4}=\frac{4\sqrt{3}+135}{20}m$
答：（1）兩個粒子分別離開磁揚后進人電場時的位置到圓形磁場水平直徑的距離均為$\frac{\sqrt{3}}{5}$m；
（2）兩個粒子第二次到達電楊邊界時的位置到圓形磁場水平直徑的距離分別為$\frac{4\sqrt{3}+15}{20}m$．$\frac{4\sqrt{3}+135}{20}m$

點評 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中運動的問題，關(guān)鍵是弄清物理情景，畫出運動軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求解，記住半徑和周期公式．