Question

19．如圖所示，豎直光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠小于R）固定，小球a、b大小相同，質量相同，均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動，兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是（　�。�

• A． 速度v至少為2$\sqrt{gR}$時，才能使兩球在管內做圓周運動
• B． 速度v至少為$\sqrt{5gR}$時，才能使兩球在管內做圓周運動
• C． 當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mg
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a對軌道最低點壓力比小球b對軌道最高點壓力都大6mg

Answer 1

分析 要使小球能通過最高點，只要小球的速度大于零即可；當向心力等于重力時，小球對軌道沒有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點時速度，再由機械能守恒可求得小球在最低點時的速度，及最低點時所需要的向心力，即可求得最低點與最高點處壓力的差值．

解答 解：AB、因小球在管內轉動，則內管可對小球提供向上的支持力，故可看作是桿模型；則小球的最高點的速度只要大于零，小球即可通過最高點，最高點的臨界速度為0．根據機械能守恒定律得：2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得最低點的速度 v=2$\sqrt{gR}$，即v至少為2$\sqrt{gR}$時，才能使兩球在管內做圓周運動．故A正確，B錯誤；
C、在最高點，當小球對軌道無壓力時，則有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，則v₁=$\sqrt{gR}$．
根據機械能守恒定律得，$\frac{1}{2}$mv₁²+mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²，解得v=$\sqrt{5gR}$
則在最高點無壓力時，b球所需要的向心力F₁=mg；a最低點所需要的向心力F₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=5mg，小球a比小球b所需向心力大4mg．故C錯誤．
D、只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球在最高點的速度大于$\sqrt{gR}$，小球所受的彈力方向向下，在最高點時，F₁+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，在最低點有：F₂-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，結合上題的結果可得F₂-F₁=6mg，則壓力之差都等于6mg．故D正確．
故選：AD

點評 小球在豎直面內的圓周運動，若是用繩拴著，只有重力小于等于向心力時，小球才能通過最高點；而用桿或在管內運動的小球，只要速度大于零，小球即可通過最高點．