Question

3．宇航員登上一半徑為R的星球表面，為測定該星球的質(zhì)量，他用長細(xì)線一端拴一小球，另一端固定于O點，讓其在水平面內(nèi)做勻速圓周運動（這種運動常稱為圓錐擺運動），如圖所示．若測得O點到圓面距離為h，圓錐擺的周期為T，已知萬有引力常量為G．請推導(dǎo)出：
（1）該星球表面重力加速度g的表達(dá)式；
（2）該星球質(zhì)量M的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由題，小球在水平面做勻速圓周運動，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解重力加速度．
（2）在星球的表面重力等于萬有引力，由此即可得到質(zhì)量的表達(dá)式．

解答 解：（1）設(shè)擺線與豎直方向之間的夾角為θ，由圖可知，小球圓周運動的半徑：r=htanθ
在豎直方向上：mg=$\frac{m4{π}^{2}}{{T}^{2}}•htanθ$
得：g=$\frac{4{π}^{2}h}{{T}^{2}}$
（2）在星球的表面重力等于萬有引力，得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
則：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}h}{G{T}^{2}}$
答：（1）該星球表面重力加速度g的表達(dá)式為$\frac{4{π}^{2}h}{{T}^{2}}$；
（2）該星球質(zhì)量M的表達(dá)式為$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}h}{G{T}^{2}}$．

點評 本題是圓錐擺問題，關(guān)鍵是分析小球的受力情況，確定向心力的來源．注意小球圓周運動的半徑與擺長不同．重力加速度g是聯(lián)系天體運動和星球表面物體的運動的橋梁．