Question

7．有一探測衛(wèi)星在地球赤道正上方繞地球做勻速圓周運動，已知地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，萬有引力常量為G，探測衛(wèi)星繞地球運動的周期為T．求：
（1）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時離地面的高度；
（2）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時的速度大��；
（3）在距地球表面高度恰好等于地球半徑時，探測衛(wèi)星上的觀測儀器某一時刻能觀測到的地球表面赤道的最大弧長．（此探測器觀測不受日照影響，不考慮大氣對光的折射）

Answer 1

分析 （1）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時，由地球的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運動定律列式求解；
（2）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時速度大小可由圓周運動的公式v=$\frac{2πr}{T}$求解；
（3）作出觀測到赤道上的弧長的圖形，根據(jù)幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星繞地球運動的軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運動定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：r=$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$
則衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時離地面的高度 h=r-R=$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R
（2）設(shè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時的速度大小為v，則有：v=$\frac{2πr}{T}$=$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$
（3）設(shè)宇宙飛船在地球赤道上方A點處，距離地球中心為2R，飛船上的觀測儀器能觀測到地球赤道上的B點和C點，能觀測到赤道上的弧長是L_BC，
cosα=$\frac{R}{2R}$=$\frac{1}{2}$，
得：α=60°
能觀測到地球表面赤道的最大長度L_BC=$\frac{2πR}{3}$
答：
（1）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時的軌道半徑為$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R；
（2）探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時的速度大小為$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$；
（3）能觀測到地球表面赤道的最大長度為$\frac{2πR}{3}$．

點評 探測衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力定律得衛(wèi)星受到的萬有引力，掌握圓周運動的公式的應(yīng)用，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求解，掌握基本規(guī)律是解決問題的基礎(chǔ)，本題屬于基礎(chǔ)題不難．