Question

6．如圖所示，直線MN下方無(wú)磁場(chǎng)，上方空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其分界線是半徑為R的半圓，兩側(cè)的磁場(chǎng)方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，最終打到Q點(diǎn)，不計(jì)微粒的重力．求：
（1）微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）從P點(diǎn)經(jīng)過(guò)邊界一次到Q點(diǎn)，微粒的運(yùn)動(dòng)速度大小及運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）若向里磁場(chǎng)是有界的，分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間的區(qū)域，上述微粒仍從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，且微粒仍能到達(dá)Q點(diǎn)，求其速度的最大值．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出粒子的速度，然后求出周期．
（2）作出速度最大時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后求出粒子的軌道半徑，再求出粒子的速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）根據(jù)題意作出粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，由牛頓第二定律與數(shù)學(xué)知識(shí)分析得出粒子運(yùn)動(dòng)的可能的情況，然后由幾何知識(shí)分析軌跡半徑的最大值，由半徑公式求出速度的最大值．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：$B{v_0}q=m\frac{v_0^2}{r}$，周期：$T=\frac{2πr}{v_0}$，則周期：$T=\frac{2πm}{Bq}$；
（2）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r=$\frac{mv}{qB}$，粒子速度越大，粒子軌道半徑越大，
粒子速度最大時(shí)，從P點(diǎn)經(jīng)過(guò)邊界一次到Q點(diǎn)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)可知，粒子軌道半徑：r=R，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得，粒子最大速度：v=$\frac{qBR}{m}$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πm}{Bq}$，
粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{3}{4}$T+$\frac{1}{4}$T=$\frac{2πm}{qB}$；
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡將磁場(chǎng)邊界分成n等份（n=2，3，4，．．）
設(shè)每等份圓弧所對(duì)圓心角為2θ，
由幾何知識(shí)可得θ=$\frac{π}{2n}$，tanθ=$\frac{r}{R}$，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：v₀=$\frac{qBR}{m}$tan$\frac{π}{2n}$（n=2、3、4、…），
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由對(duì)稱性可得t=$\frac{nT}{2}$=$\frac{nπm}{qB}$（n=2、4、6、8…）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)．t為周期的整數(shù)倍加上第一段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，
即t=$\frac{n-1}{2}$T+$\frac{π+\frac{π}{n}}{2π}$T=$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nqB}$（n=3、5、7…），

設(shè)x為O到粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心的距離，
由幾何知識(shí)得：r=Rtan$\frac{π}{2n}$，x=$\frac{R}{cos\frac{π}{2n}}$，
要不超出邊界須有：$\frac{R}{cos\frac{π}{2n}}$+Rtan$\frac{π}{2n}$＜2R，
解得：2cos$\frac{π}{2n}$＞1+sin$\frac{π}{2n}$，
當(dāng)n=2時(shí)不成立，如圖（b）所示
 
比較當(dāng)n=3、n=4時(shí)的運(yùn)動(dòng)半徑，可知：當(dāng)n=3時(shí)，運(yùn)動(dòng)半徑最大，粒子的速度最大．即有
r=Rtan$\frac{π}{2n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，可得：v₀=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；

答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期為$\frac{2πm}{qB}$．
（2）從P點(diǎn)經(jīng)過(guò)邊界一次到Q點(diǎn)，微粒的運(yùn)動(dòng)速度大小是$\frac{qBR}{m}$，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是$\frac{2πm}{qB}$；
（3）上述微粒仍從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，且微粒仍能到達(dá)Q點(diǎn)，其速度的最大值為$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律即可正確解題，根據(jù)題意作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合題意找出相應(yīng)的臨界條件是正確解題的前提與關(guān)鍵．