Question

8．廣州中山大道、廣州大道等路段設(shè)置了“綠波帶”，根據(jù)車輛運(yùn)行情況對各路口紅綠燈進(jìn)行協(xié)調(diào)，使車輛通過時(shí)能連續(xù)獲得一路綠燈．設(shè)一路上某直線路段每間隔L=500 m就有一個(gè)紅綠燈路口，綠燈時(shí)間△t₁=50 s，紅燈時(shí)間△t₂=40 s，而且下一路口紅綠燈亮起總比當(dāng)前路口紅綠燈滯后△t=50s．要求汽車在下一路口綠燈再次亮起后能通過該路口，汽車可看做質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)通過路口的時(shí)間，道路通行順暢．
（1）若某路口綠燈剛亮起時(shí)，某汽車恰好通過，要使該汽車保持勻速行駛，在后面道路上再連續(xù)通過3個(gè)路口，汽車勻速行駛的最大速度是多少？最小速度又是多少？（計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
（2）若某路口遭遇紅燈，待綠燈剛亮起時(shí)，某汽車由靜止開始，以加速度a=2 m/s²勻加速運(yùn)動(dòng)，加速到第（3）問中汽車勻速行駛的最大速度以后，便以此速度一直勻速運(yùn)動(dòng)．試通過計(jì)算判斷，當(dāng)該汽車到達(dá)下一個(gè)路口時(shí)能否遇到綠燈．

Answer 1

分析 （1）若汽車剛好在綠燈亮起時(shí)通過第3個(gè)路口，求出汽車通過3個(gè)路口的時(shí)間 t=3△t，此時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度最大，為v_max=$\frac{3L}{t}$．若汽車剛好在綠燈熄滅時(shí)通過第五個(gè)路口，通過五個(gè)路口的時(shí)間是 t′=3△t+△t₁，此時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度最小，為v_min=$\frac{3L}{t′}$．代入求解．
（2）若路口綠燈剛亮起時(shí)，汽車啟動(dòng)加速，最終加速到v_max，由速度公式求出加速的時(shí)間，并求得加速的位移．然后汽車以此速度勻速運(yùn)動(dòng)，求出勻速的時(shí)間，從而求出汽車從該路口開始啟動(dòng)到下一個(gè)路口的總時(shí)間，即可作出判斷．

解答 解：（1）若汽車剛好在綠燈亮起時(shí)通過第3個(gè)路口，則通過3個(gè)路口的時(shí)間t=3△t
此時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度最大${v}_{max}^{\;}=\frac{3L}{t}=\frac{3×500}{3×50}m/s=10m/s$
若汽車剛好在綠燈熄滅時(shí)通過第五個(gè)路口，則通過五個(gè)路口的時(shí)間$t′=3△t+△{t}_{1}^{\;}=3×50+50=200s$
此時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度最小${v}_{min}^{\;}=\frac{3L}{t′}=\frac{3×500}{200}m/s=7.5m/s$
（2）若路口綠燈剛亮起時(shí)，汽車啟動(dòng)加速，最終加速到 ${v}_{max}^{\;}=10m/s$
所需時(shí)間${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{max}^{\;}}{a}=\frac{10}{2}s=5s$
在此過程中汽車走過的位移$x=\frac{{v}_{max}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{10}{2}×5=25m$
然后汽車以此速度勻速運(yùn)動(dòng)到下一路口所需時(shí)間
${t}_{2}^{\;}=\frac{L-x}{{v}_{max}^{\;}}=\frac{500-25}{10}=47.5s$
因此，汽車從該路口開始啟動(dòng)到下一個(gè)路口的時(shí)間為$t″={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=52.5s$
由于$△t＜t″＜△t+△{t}_{1}^{\;}$，即50＜52.5＜100，所以走到下個(gè)路口時(shí)能夠遇到綠燈．  
答：（1）汽車勻速行駛的最大速度是10m/s，最小速度又是7.5m/s
（2）試通過計(jì)算判斷，當(dāng)該汽車到達(dá)下一個(gè)路口時(shí)能夠遇到綠燈

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚汽車的運(yùn)動(dòng)情況，確定勻速運(yùn)動(dòng)速度最大和最小的臨界條件，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解答．