Question

7．如圖所示，傾斜的傳動帶AB以恒定速度v=2m/s順時針運(yùn)動，傳動帶的傾角θ=37°，傳動帶A，B間的長度l₀=8m，水平臺的右側(cè)與傳動帶A輪邊緣平滑連接，現(xiàn)使質(zhì)量為m的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）在P點(diǎn)以初速度v₀=10m/s向右運(yùn)動，已知物體與水平臺和傳動帶的動摩擦因數(shù)均為μ=0.5，P、A間的距離l=3.6m，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²，求：
（1）物體開始運(yùn)動到最終停止時共經(jīng)歷的時間？
（2）若要使物體沿傳動帶到最高點(diǎn)B，則物體在P點(diǎn)至少要以多大的速度向右運(yùn)動？

Answer 1

分析 （1）若要物塊最后停止，則物塊共需要經(jīng)歷4個過程，依次對物體進(jìn)行受力分析，求出加速度，然后在結(jié)合運(yùn)動學(xué)的公式求出各段的時間，最后求和；
（2）若要使物體沿傳動帶到最高點(diǎn)B，則物塊共需要經(jīng)歷3個過程，依次對物體進(jìn)行受力分析，求出加速度，然后在結(jié)合運(yùn)動學(xué)的公式求出．

解答 解：（1）物塊先在水平面上做勻減速運(yùn)動，以向右為正方向，水平方向只受到摩擦力的作用，f₁=-μmg
則物體的加速度：${a}_{1}=\frac{{f}_{1}}{m}=-\frac{μmg}{m}=-μg=-0.5×10=-5m/{s}^{2}$
物體到達(dá)A的速度v₁，則：$2{a}_{1}l={v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v₁=8m/s
時間：${t}_{1}=\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{8-10}{-5}=0.4$s
由于v₁＞v所以物體剛滑上傳送帶時受到的滑動摩擦力的方向向下，沿斜面向下的方向上：以沿傳送帶運(yùn)動的方向?yàn)檎�方向�?br />ma₂=-μmgcosθ-mgsinθ
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{2}=-10m/{s}^{2}$
向上減速到v的時間：${t}_{2}=\frac{v-{v}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{2-8}{10}=0.6$s
向上的位移：${x}_{1}={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$=$8×0.6+\frac{1}{2}×（-10）×0．{6}^{2}=3$m
之后，物體受到的摩擦力的方向沿斜面向上，此時：
ma₃=-mgsinθ+μmgcosθ
代入數(shù)據(jù)得：a₃=-2m/s²
物體返回A點(diǎn)時，位移為：x₂=-x₁=-3m
又：${x}_{2}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：t₃=3s
返回A點(diǎn)的速度：v₂=v+a₃t₃=2+（-2）×3=-4m/s
物體返回A后，將繼續(xù)向左運(yùn)動，加速度的大�。�${a}_{4}=\frac{μmg}{m}=μg=0.5×10=5m/{s}^{2}$
所以到停止的時間：${t}_{4}=\frac{0-{v}_{2}}{{a}_{4}}=\frac{0-（-4）}{5}=0.8$s
所以物體運(yùn)動的總時間：t_總=t₁+t₂+t₃+t₄=0.4+0.6+3+0.8=4.8s
（2）若要使物體沿傳動帶恰好到最高點(diǎn)B，則到達(dá)B的速度為0，當(dāng)物體的速度：0＜v≤2m/s時，物體向上運(yùn)動的過程中受到的摩擦力的方向向上，加速度為a₃；當(dāng)物體沿傳送帶向上的速度大于2m/s時，受到的摩擦力的方向向下，所以加速度為a₂；
當(dāng)0＜v≤2m/s時，物體在傳送帶上的位移x₃，則：$2{a}_{3}{x}_{3}=0-{v}^{2}$
所以：${x}_{3}=\frac{0-{v}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{0-{2}^{2}}{2×（-2）}=1$m
所以當(dāng)物體向上的速度大于2m/s時，沿傳送帶向上的位移：x₄=l₀-x₃=8-1=7m
設(shè)物體到達(dá)A的速度為v₅，則：$2{a}_{2}{x}_{5}={v}^{2}-{v}_{5}^{2}$
物體由P到A的過程：$2{a}_{1}l={v}_{5}^{2}-{v}_{00}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{00}=6\sqrt{5}$m/s
答：（1）物體開始運(yùn)動到最終停止時共經(jīng)歷的時間是4.8s；
（2）若要使物體沿傳動帶到最高點(diǎn)B，則物體在P點(diǎn)至少要以$6\sqrt{5}$m/s的速度向右運(yùn)動．

點(diǎn)評 該題屬于單物體多過程的運(yùn)動，每一問都涉及多個運(yùn)動的過程，要針對不同的過程，正確進(jìn)行受力分析，理清物塊在整個過程中的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行求解．