Question

3．如圖1所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線(xiàn)連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線(xiàn)AB水平，細(xì)線(xiàn)AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線(xiàn)AC長(zhǎng)L=1m，B點(diǎn)距C 點(diǎn)的水平和豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）
（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₁時(shí)，細(xì)線(xiàn)AB上的張力為零而細(xì)線(xiàn)AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度ω₁的大��；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s，求細(xì)線(xiàn)AC與豎直方向的夾角；
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試通過(guò)計(jì)算在坐標(biāo)圖2中畫(huà)出細(xì)線(xiàn)AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象．

Answer 1

分析 （1）細(xì)線(xiàn)AB上張力恰為零時(shí)小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度ω₁的大�。�
（2）ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s＞ω₁時(shí)，細(xì)線(xiàn)AB松弛，根據(jù)小球重力和拉力的合力提供向心力求出細(xì)線(xiàn)AC與豎直方向的夾角．
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出ω≤ω₁時(shí)、ω₁≤ω≤ω₂時(shí)、ω＞ω₂時(shí)拉力的大小，從而確定細(xì)線(xiàn)AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系，并作出圖象．

解答 解（1）細(xì)線(xiàn)AB上張力恰為零時(shí)有 mgtan37°=mω₁²Lsin37°
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s
（2）因ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s＞ω₁=$\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s，則細(xì)線(xiàn)AB應(yīng)松弛，有
  mgtanθ′=mω₂²Lsinθ′
解得：cosθ′=0.6，則θ′=53°，此時(shí)細(xì)線(xiàn)AB恰好豎直，但張力為零．
（3）當(dāng)ω≤ω₁=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s時(shí)，細(xì)線(xiàn)AB水平，細(xì)線(xiàn)AC上張力的豎直分量等于小球的重力，則
  Tcosθ=mg
得 T=$\frac{mg}{cosθ}$=12.5N
當(dāng)ω₁≤ω≤ω₂時(shí)細(xì)線(xiàn)AB松弛，細(xì)線(xiàn)AC上張力的水平分量等于小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力，有：
Tsinθ=mω²Lsinθ，
得：T=mω²L
當(dāng)ω＞ω₂時(shí)，細(xì)線(xiàn)AB在豎直方向繃直，仍然由細(xì)線(xiàn)AC上張力的水平分量提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力，有：
Tsinθ=mω²Lsinθ，
得：T=mω²L
綜上所述ω≤ω₁=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s時(shí)，T=12.5N不變；ω＞ω₁時(shí)，T=mω²L=ω²（N），T-ω²關(guān)系圖象如圖所示．
答：
（1）角速度ω₁的大小為$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s．
（2）細(xì)線(xiàn)AC與豎直方向的夾角為53°．
（3）細(xì)線(xiàn)AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象如圖．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源，確定小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．