Question

2．如圖所示，衛(wèi)星P繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T，地球相對(duì)衛(wèi)星的張角θ=60°．已知萬有引力常量為G．求地球的平均密度．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，根據(jù)幾何關(guān)系求得地球半徑，由密度公式求得地球的平均密度．

解答 解：由題意令衛(wèi)星的軌道半徑為r，地球的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系可知，地球半徑R=$rsin\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}r$
對(duì)于衛(wèi)星由萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得地球質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
地球的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{1}{6}π{r}^{3}$
所以地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{1}{6}π{r}^{3}}=\frac{24π}{G{T}^{2}}$
答：地球的平均密度為$\frac{24π}{G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)幾何關(guān)系求得衛(wèi)星軌道半徑與地球半徑的大小關(guān)系，這是學(xué)生容易出錯(cuò)的主要地方．