Question

5．如圖所示，在傾角θ=30°的斜面上放置一凹槽B，B與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，凹槽B的左側(cè)壁（側(cè)壁厚度不計(jì)）距斜面底端距離L=15m．槽內(nèi)靠近右側(cè)壁處有一小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)），它到凹槽左側(cè)壁的距離d=0.10m．A、B的質(zhì)量都為m=2.0kg，B與斜面間的最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，不計(jì)A、B之間的摩擦．現(xiàn)同時(shí)由靜止釋放A、B，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，A與B的側(cè)壁發(fā)生碰撞，碰撞過(guò)程不計(jì)機(jī)械能損失，碰撞時(shí)間極短．取g=10m/s²．求：
（1）A與B的左側(cè)壁發(fā)生第一次碰撞后瞬間A、B的速度；
（2）在A與B的左側(cè)壁發(fā)生第一次碰撞后到第二次碰撞前的這段時(shí)間內(nèi)，A與B的左側(cè)壁之間的最大距離；
（3）A從開始下滑到B的左側(cè)壁滑至斜面底端的過(guò)程中，A與B的左側(cè)壁碰撞的次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由靜止釋放A、B，A在凹槽內(nèi)，B受到的滑動(dòng)摩擦力f=μ•2mgcosθ，B所受重力沿斜面的分力G₁=mgsinθ，由計(jì)算得到f=G₁，說(shuō)明B仍保持靜止，A做勻加速運(yùn)動(dòng)，牛頓定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求出A與B碰撞前的速度大小．A與B的側(cè)壁發(fā)生碰撞，碰撞過(guò)程不損失機(jī)械能，碰撞時(shí)間極短，動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，可求出A與B的左側(cè)壁第一次發(fā)生碰撞后瞬間A、B的速度．
（2）A、B第一次碰撞后，B做勻速運(yùn)動(dòng)，A做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度不變，當(dāng)A的速度與B相等，A與B的左側(cè)壁距離達(dá)到最大．由位移公式和速度求出最大距離．
（3）根據(jù)A、B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用v-t圖象可以求出B的位移．

解答 解：（1）A在凹槽內(nèi)，B受到的滑動(dòng)摩擦力為：f=μ•3mgcosθ=10N     
B所受重力沿斜面的分力為：G₁=2mgsinθ=10N
因?yàn)镚₁=f，所以B受力平衡，釋放后B保持靜止，釋放A后，A做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得：
mgsinθ=ma₁，v₁²=2a₁d，解得，A的加速度和碰撞前的速度分別為：a₁=5m/s²，v₁=1.0m/s²．
A．B發(fā)生碰撞，規(guī)定沿斜面向下為正方向，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：
mv₁=mv₁′+mv₂′
碰撞過(guò)程不損失機(jī)械能，得：$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²+$\frac{1}{2}$mv₂′²
解得第一次發(fā)生碰撞后瞬間A，B的速度分別為：
v₁′=0m/s，方向沿斜面向上，v₂′=1m/s，方向沿斜面向下；
（2）A．B第一次碰撞后，B做勻速運(yùn)動(dòng)，有：s₂′=v′₂t   
A做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度仍為a₁ ，則有：
s₁′=$\frac{1}{2}$a₁t²，v_A=a₁t，
經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁，A的速度與B相等，A與B的左側(cè)壁距離達(dá)到最大，即：
a₁t₁=v₂′，又s=s₂′-s₁′，
代入數(shù)據(jù)解得A與B左側(cè)壁的距離：s=0.10m
因?yàn)閟=d，A恰好運(yùn)動(dòng)到B的右側(cè)壁，而且速度相等，所以A與B的右側(cè)壁恰好接觸但沒(méi)有發(fā)生碰撞．       
 因此A與B的左側(cè)壁的距離最大可達(dá)到0.10m．
（3）A、B每次碰撞后交換速度，設(shè)第n次碰撞前A的速度為v_n，
碰撞交換速度后v_An=v_n，v_Bn=v_（n-1），A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a₁，
則A、B再次碰撞時(shí)，v_（n-1）t+$\frac{1}{2}$a₁t²=v_nt，解得：v_n-v_（n-1）=at₁，
應(yīng)用逐差法可得：v_n=nav₁t=nv₁=n （m/s）
由以上分析可知，物塊A與凹槽B的左側(cè)壁第n次碰撞后瞬間A、B的速度大小分別為：v_An=（n-1）（m/s），v_Bn=n （m/s），
B物體的v-t圖象如圖所示：

由圖象可知，從初始位置到物塊A與凹槽B的左臂發(fā)生第n次碰撞時(shí)B的位移大小為：
x=0.4×1.0[1+2+3+…+（n-1）]=0.2（n2-n）  m，解得：n≈9.2，
所以A與B的左臂碰撞的次數(shù)額外9次；
答：（1）A與B的左側(cè)壁發(fā)生第一次碰撞后瞬間A、B的速度分別為：0m/s、1m/s；
（2）在A與B的左側(cè)壁發(fā)生第一次碰撞后到第二次碰撞前的這段時(shí)間內(nèi)，A與B的左側(cè)壁之間的最大距離為0.1m；
（3）A從開始下滑到B的左側(cè)壁滑至斜面底端的過(guò)程中，A與B的左側(cè)壁碰撞的次數(shù)是9次．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力學(xué)綜合題，分析運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律是關(guān)鍵．對(duì)于A、B的碰撞過(guò)程，屬于彈性碰撞過(guò)程，兩者質(zhì)量相等，交換速度．