Question

6．我國(guó)首個(gè)月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”將分三個(gè)階段實(shí)施，用十年左右時(shí)間完成．據(jù)悉，我國(guó)探月工程設(shè)想為三期，簡(jiǎn)稱為“繞、落、回”三步走，在2020年前后完成．目前已進(jìn)行了第二步．
嫦娥三號(hào)探測(cè)器于2013年12月2日在中國(guó)西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，它的任務(wù)是在月球上著陸，并對(duì)月球進(jìn)行科學(xué)探測(cè)．衛(wèi)星發(fā)射后，先繞地球轉(zhuǎn)3圈，軌道是橢圓軌道，近地點(diǎn)是200km．之后經(jīng)調(diào)速進(jìn)入月地轉(zhuǎn)移軌道，接近月球時(shí)經(jīng)過(guò)三次制動(dòng)，使其被月球俘獲，成為月球衛(wèi)星，發(fā)動(dòng)機(jī)正常關(guān)機(jī)，“嫦娥三號(hào)”進(jìn)入距月表面約200公里圓軌道．北京時(shí)間2013年12月9日，在北京航天飛行控制中心的控制下，“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星主發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火成功制動(dòng)，經(jīng)過(guò)減速階段，最終成功降落在月球表面，釋放月球探測(cè)車(chē)，開(kāi)始了對(duì)月球的探測(cè)工作．
設(shè)月球半徑為R，嫦娥三號(hào)繞月球的軌道半徑為r，運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，引力常數(shù)為G，且把它繞月球的運(yùn)動(dòng)近似看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)．試根據(jù)以上已知量，求：
（1）月球的質(zhì)量；
（2）在某次成功在月球表面上著陸后，一位宇航員拿出一小球，并以一定的初速度V₀豎直向上拋出，請(qǐng)問(wèn)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間小球落回月球表面處？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式求出月球質(zhì)量
（2）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力求出月球表面的重力加速度，再運(yùn)用豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求時(shí)間

解答 解：（1）設(shè)月球質(zhì)量為M，則：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得月球質(zhì)量為：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）月球表面的萬(wàn)有引力近似等于重力，可以求得月球表面的重力加速度．
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
月球表面的重力加速度為：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$
在月球上以${v}_{0}^{\;}$上拋的小球到最高點(diǎn)的時(shí)間為${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{g}$
所求的時(shí)間為：$t=2{t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}$
$t=\frac{{v}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}$
答：（1）月球的質(zhì)量$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）經(jīng)過(guò)時(shí)間$\frac{{v}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}$小球落回月球表面處

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要抓住衛(wèi)星所受的萬(wàn)有引力提供向心力進(jìn)行列式求解，星球表面處物體的重力等于萬(wàn)有引力，求得重力加速度，運(yùn)用豎直上拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出時(shí)間．