Question

16．如圖所示，傳送帶I與水平面夾角為30°，傳送帶Ⅱ與水平面夾角為37°，兩傳送帶與一小段光滑的水平面BC平滑連接，兩傳送帶均順時(shí)針勻速率運(yùn)行．現(xiàn)將裝有貨物的箱子輕放至傳送帶I的A點(diǎn)，運(yùn)送到水平面上后，工作人員將箱子內(nèi)的物體取出，箱子速度不變繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到傳送帶Ⅱ上，傳送帶Ⅱ的D點(diǎn)與高處平臺(tái)相切．已知箱子的質(zhì)量m=lkg，傳送帶I的速度ν₁=8m/s，AB長(zhǎng)L₁=15.2m，與箱子間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．傳送帶Ⅱ的速度ν₂=5m/s，CD長(zhǎng)L₂=8.2m．箱子與傳送帶Ⅱ間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.5，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．

（1）求裝著物體的箱子在傳送帶I上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明箱子能否被運(yùn)送到高處平臺(tái)上（能達(dá)到D點(diǎn)就認(rèn)為可運(yùn)送到平臺(tái)上）；
（3）求箱子在傳送帶Ⅱ上向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能．

Answer 1

分析 （1）裝著物體的箱子在傳送帶Ⅰ上先做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式位移公式結(jié)合求得勻加速至速度與傳送帶共速通過(guò)的位移，再分析知道共速后箱子隨傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)，分段求出時(shí)間，從而得到總時(shí)間．
（2）由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出箱子在傳送帶Ⅱ上勻加速的位移，根據(jù)共速時(shí)最大靜摩擦力與重力沿斜面向下的分力大小關(guān)系，判斷之后箱子的運(yùn)動(dòng)情況．
（3）箱子在傳送帶Ⅱ上向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，根據(jù)相對(duì)位移求產(chǎn)生的內(nèi)能．

解答 解：（1）在傳送帶Ⅰ上，根據(jù)牛頓第二定律：f-mgsin30°=ma
垂直傳送帶方向，合力為零，故有：N-mgcos30°=0
滑動(dòng)摩擦力為：f=μ₁N
整理可以得到：a=2.5m/s²
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：v₁²=2as
整理可以得到：s=12.8m＜L₁=15.2m
則知箱子與傳送帶共速后一起做勻速運(yùn)動(dòng)
根據(jù)速度公式：v₁=at₁
則：t₁=3.2s
與傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)：L-s=v₁t₂
則：t₂=0.3s
故總時(shí)間為：t=t₁+t₂=3.5s
（2）在傳送帶Ⅱ上箱子先向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：
f₁+mgsin37°=ma₁；
摩擦力為：f₁=μ₂mgcos37°
整理可以得到：a₁=10m/s²．
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：${v}_{2}^{2}$-${v}_{1}^{2}$=2a₁s_物1；
則：s_物1=1.95m
當(dāng)達(dá)到傳送帶速度時(shí)，由于mgsin37°＞μ₂mgcos37°，所以箱子繼續(xù)減速運(yùn)動(dòng)
則根據(jù)牛頓第二定律：mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₂；
整理可以得到：a₂=2m/s²
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：0-v₂²=-2a₂s_物2
所以：s_物2=6.25m
由于s_物1+s_物2=8.2m，所以物體恰能到達(dá)D點(diǎn)運(yùn)送到高處平臺(tái)上．
（3）第一段減速時(shí)間為：t_減1=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{-{a}_{1}}$
解得：t_減1=0.3s
此過(guò)程中傳送帶的位移大小為：s_減1=v₂t_減1=5×0.3=1.5m
兩者相對(duì)位移為：△s₁=s_物1-s_減1=1.95m-1.5m=0.45m
產(chǎn)生的熱量為：Q₁=μ₂mgcos37°△s₁
解得：Q₁=1.8J
第二階段：t_減2=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{2}$=2.5s
此過(guò)程中傳送帶的位移大小為：s_減2=v₂t_減2=5×2.5=12.5m
兩者相對(duì)位移為：△s₂=s_減2-s_物2=12.5m-6.25m=6.25m
產(chǎn)生的熱量為：Q₂=μ₂mgcos37°△s₂
解得：Q₂=25J
故總的熱量為：Q=Q₁+Q₂=26.8J．
答：（1）裝著物體的箱子在傳送帶Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3.5s；
（2）物體恰能到達(dá)D點(diǎn)運(yùn)送到高處平臺(tái)上．
（3）箱子在傳送帶Ⅱ上向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能是26.8J．

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵是弄清楚物塊的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況．對(duì)于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問(wèn)題，要弄清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和受力情況，利用牛頓第二定律或運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進(jìn)行解答．