Question

11．我國(guó)已按計(jì)劃實(shí)施“嫦娥工程”，“嫦娥一號(hào)”、“嫦娥二號(hào)”和“嫦娥三號(hào)”已成功發(fā)射，月球車已成功降落月球表面，進(jìn)行科學(xué)研究．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為r_月，引力常量為G，請(qǐng)求出月球的質(zhì)量M_月（用已知量表示）．

Answer 1

分析 （1）月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，列出方程．在地球表面上，物體的重力等于萬(wàn)有引力，列出方程，聯(lián)立可解．
（2）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出月球表面的重力加速度，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，可求解月球的質(zhì)量M_月．

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式有：
   G$\frac{{M}_{月}M}{{r}^{2}}$=${M}_{月}（\frac{2π}{T}）^{2}$r
質(zhì)量為m的物體在地球表面時(shí)：
   mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得 r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g_月，根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
   v₀=$\frac{{v}_{月}t}{2}$
質(zhì)量為m′的物體在月球表面時(shí)有：
  m′g_月=G$\frac{{M}_{月}m′}{{r}_{月}^{2}}$
解得 M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的質(zhì)量M_月是$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$．

點(diǎn)評(píng) 在星球表面萬(wàn)有引力近似等于重力，這個(gè)關(guān)系對(duì)于解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題非常重要，一定要理解并掌握．