Question

13．如圖所示，直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)有一條直線AC過坐標(biāo)原點O與x軸成45°夾角，在OA與x軸負(fù)半軸之間的區(qū)域內(nèi)存在垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場B，在OC與x軸正半軸之間的區(qū)域內(nèi)存在垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場B₂．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為q（q＞0）的帶電粒子以速度v從位于直線AC上的P點，坐標(biāo)為（L，L），豎直向下射出，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，此帶電粒子每經(jīng)過相同的時間T，會再將回到P點，已知距感應(yīng)強(qiáng)度B₂=$\frac{mv}{qL}$．（不計粒子重力）
（1）請在圖中畫出帶電粒子的運(yùn)動軌跡，并求出勻強(qiáng)磁場B₁與B₂的比值；（B₁、B₂磁場足夠大）
（2）求出帶電粒子相鄰兩次經(jīng)過P點的時間間隔T；
（3）若保持磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂不變，改變B₁的大小，但不改變其方向，使B₁=$\frac{mv}{2qL}$．現(xiàn)從P點向下先后發(fā)射速度分別為$\frac{v}{4}$和$\frac{v}{3}$的與原來相同的帶電粒子（不計兩個帶電粒子之間的相互作用力，并且此時算作第一次經(jīng)過直線AC），如果它們第三次經(jīng)過直線AC時軌跡與AC的交點分別 記為E點和F點（圖中未畫出），試求EF兩點間的距離．
（4）若要使（3）中所說的兩個帶電粒子同時第三次經(jīng)過直線AC，問兩帶電粒子第一次從P點射出時的時間間隔△t要多長？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑；真空中做勻速直線運(yùn)動；畫出軌跡；
（2）根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}•T$和T=$\frac{2πm}{qB}$求解出圓周運(yùn)動的時間，再求解出勻速直線運(yùn)動的時間后相加即可；
（3）粒子做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解出半徑之間的關(guān)系，然后畫出對應(yīng)的軌跡，得到EF間距；
（4）兩帶電粒子在同一磁場中的周期相同，轉(zhuǎn)過的圓心角也相同，故在同一磁場中的運(yùn)動時間相同，所以時間間隔△t就是直線運(yùn)動的時間差．

解答 解：（1）帶電粒子從P點勻速運(yùn)動到Q點，然后作半徑為：$qv{B_2}=m\frac{v^2}{R_2}⇒{R_2}=\frac{mv}{{q{B_2}}}=L$的勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動到H點時的速度方向與AC垂直，從H點勻速運(yùn)動到D點，后作勻速圓周運(yùn)動到P點．
根據(jù)平面幾何知識可知：$\overline{PO}=\overline{OD}=\sqrt{2}L$，四邊形AODOR₁R為棱形，OR₁R為圓心，即帶電粒子在勻強(qiáng)磁場BR₁R中作勻速圓周運(yùn)動時的半徑RR₁R為$\sqrt{2}L$，根據(jù)$qv{B_1}=m\frac{v^2}{R_1}$，
得：${B_1}=\frac{{\sqrt{2}mv}}{2qL}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{B_2}$；
（2）T=t₁+t₂+t₃+t₄
${t_1}=\frac{L}{v}$，
${t_2}=\frac{3}{8}{T_2}=\frac{3πL}{4v}$，
${t_3}=\frac{L}{v}$，
${t_4}=\frac{5}{8}{T_2}=\frac{{5\sqrt{2}πL}}{4v}$
解得：$T={t_1}+{t_2}+{t_3}+{t_4}=\frac{{（8+3π+5\sqrt{2}π）L}}{4v}$；
（3）兩帶電粒子在磁場BR₂R中運(yùn)動時的半徑為：${R'_2}=\frac{{m\frac{v}{4}}}{{q{B_2}}}=\frac{L}{4}$，
${R''_2}=\frac{{m\frac{v}{3}}}{{q{B_2}}}=\frac{L}{3}$
${B_1}=\frac{mv}{2qL}=\frac{B_2}{2}$，
故粒子在磁場BR₁R中的運(yùn)動半徑：
${R_1}=\frac{mv}{{q{B_1}}}=2{R_2}$，
則兩帶電粒子都剛好運(yùn)動$\frac{1}{4}$圓周到達(dá)A點，所以EF兩點間的距離EF=0（如圖所示）；
（4）兩帶電粒子在同一磁場中的周期相同，轉(zhuǎn)過的圓心角也相同，故在同一磁場中的運(yùn)動時間相同，所以時間間隔△t就是直線運(yùn)動的時間差：
$△t=\frac{{L+\frac{L}{2}}}{{\frac{v}{4}}}-\frac{{L+\frac{L}{3}}}{{\frac{v}{3}}}=\frac{2L}{v}$；
答：（1）帶電粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示，勻強(qiáng)磁場B₁與B₂的比值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）帶電粒子相鄰兩次經(jīng)過P點的時間間隔T為$\frac{（8+3π+5\sqrt{2}π）L}{4v}$；
（3）EF兩點間的距離為0．
（4）兩帶電粒子第一次從P點射出時的時間間隔△t為$\frac{2L}{v}$．

點評 本題關(guān)鍵明確粒子的運(yùn)動性質(zhì)，畫出運(yùn)動軌跡，然后分勻速圓周運(yùn)動和直線運(yùn)動階段討論．