Question

13．如圖所示，兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的相同小球1、2分別在兩豎直光滑圓錐的內(nèi)側(cè)面上以相同的角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知兩圓錐面與水平面的夾角分別為30°和45°，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 兩球的向心加速度大小之比為1：$\sqrt{3}$
• B． 兩球做圓運(yùn)動(dòng)的半徑之比為1：1
• C． 兩球的線速度大小之比為1：$\sqrt{2}$
• D． 兩球離地面的高度之比為1：3

Answer 1

分析 先對(duì)兩個(gè)小球進(jìn)行受力分析，得出向心力，從而可得知向心加速度的比值，從而可判知選項(xiàng)A的正誤．再利用向心加速度的公式a=ω²R結(jié)合向心加速度的比值，即可判知選項(xiàng)B的正誤．利用線速度的公式v=ωR即可得知兩球的線速度的大小之比，繼而可得知選項(xiàng)C的正誤．利用半徑和角度的關(guān)系可得知兩球離地面的高度之比，由此可知選項(xiàng)D的正誤．

解答 解：設(shè)小球的質(zhì)量為m，兩個(gè)小球運(yùn)動(dòng)的向心力為兩球受到的合外力，分別為：
F_1向=mgtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg…①；
F_2向=mgtan45°=mg…②；
A、由①式得小球1的加速度為a₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$g；由②式得小球2的加速度為a₂=g；所以a₁：a₂=1：$\sqrt{3}$，選項(xiàng)A正確．
B、由向心加速度的公式a=ω²R結(jié)合向心加速度的比值得：R₁：R₂=1：$\sqrt{3}$，選項(xiàng)B錯(cuò)誤
C、由線速度的公式v=ωR得兩球的線速度大小之比為1：$\sqrt{3}$，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
D、球1離地面的高度h₁=R₁tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}{R}_{1}$，球2離地面的高度h₂=R₂tan45°=R₂，所以兩球離地面的高度之比為h₁：h₂=1：3，選項(xiàng)D正確．
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 解答該類型的題，首先要進(jìn)行正確的受力分析，得出向心力，銘記向心力是沿半徑方向上的所有力的合力；平時(shí)要熟記公式F_向=ma=$m\frac{{v}^{2}}{R}$=mω²R=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$=m4π²f²R，根據(jù)題干所給的條件選擇合適的式子列式求解．