Question

4．如圖所示，金屬板AB之間存在大小可以調(diào)節(jié)的電壓，一不計重力，質(zhì)量為m、電荷量大小為q的負粒子從A板附近開始加速，進入磁感應強度為B．方向垂直于紙面向里的勻強磁場區(qū)城，磁場的邊界MN與B板的夾角為45°，B板上的小孔到M的距離為L．試求：
（1）如果帶電粒子垂直打在邊界MN上，AB間的電壓為多少？
（2）帶電粒子能打在MN邊界上的最小速度是多少？這種情況下，帶電粒子從進入磁場到打在MN邊界上的時間？

Answer 1

分析 （1）洛倫茲力提供向心力求出半徑表達式，動能定理得出進入磁場的速度表達式，結合幾何關系求出半徑，綜合得出結論
（2）帶電粒子打到MN邊界的最小速度，即求最小半徑，畫出軌跡和MN相切的臨界軌跡，求出半徑和圓心角，從而得出最小速度和時間

解答 解：（1）帶電粒子垂直打在邊界MN上，則在在磁場中勻速圓周運動的圓心是M，軌道半徑為：${R}_{1}^{\;}=L$…①
根據(jù)動能定理有：$qU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
得：$v=\sqrt{\frac{2qu}{m}}$…②
洛倫茲力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
得：${R}_{1}^{\;}=\frac{mv}{qB}$…③
聯(lián)立得：$U=\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{2m}$
（2）帶電粒子打到MN邊界半徑最小時，速度最小，如圖，根據(jù)幾何關系有：${R}_{2}^{\;}+\sqrt{2}{R}_{2}^{\;}=L$
得：${R}_{2}^{\;}=（\sqrt{2}-1）L$…④
洛倫茲力提供向心力為：$q{v}_{min}^{\;}B=m\frac{{v}_{min}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}$
得：${R}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{min}^{\;}}{qB}$…⑤
聯(lián)立④⑤得：${v}_{min}^{\;}=\frac{（\sqrt{2}-1）qBL}{m}$
這種情況下，帶電粒子從進入磁場到打在MN邊界圓心角135°，時間為：
$t=\frac{135°}{360°}T$=$\frac{3}{8}\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3πm}{4qB}$
答：（1）如果帶電粒子垂直打在邊界MN上，AB間的電壓為$\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{2m}$
（2）帶電粒子能打在MN邊界上的最小速度是$\frac{（\sqrt{2}-1）qBL}{m}$這種情況下，帶電粒子從進入磁場到打在MN邊界上的時間$\frac{3πm}{4qB}$

點評 本題關鍵是作出臨界軌跡，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解，特別是記住基本公式洛侖茲力等于向心力，半徑公式和周期公式也一定要記住才能提高解題速度．