Question

13．如圖1所示，空間存在著方向豎直向上的勻強電場和方向垂直于紙面向內(nèi)，磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場，帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球Q靜置在光滑絕緣的水平高臺邊緣，另一質(zhì)量為m不帶電的絕緣小球P以水平初速度v₀向Q運動，v₀=$\frac{mg}{2qB}$，小球P、Q正碰過程中沒有機械能損失且電荷量不發(fā)生轉(zhuǎn)移，已知勻強電場的電場強度E=$\frac{mg}{q}$，水平臺面距離地面高度h=$\frac{{2{m^2}g}}{{{q^2}{B^2}}}$，重力加速度為g，不計空氣阻力．

（1）求P、Q兩球首次發(fā)生彈性碰撞后，小球Q的速度大��；
（2）P、Q兩球首次發(fā)生彈性碰撞后，經(jīng)多少時間小球P落地，落地點與平臺邊緣間的水平距離多大？
（3）若撤去勻強電場，并將小球Q重新放在平臺邊緣，小球P仍以水平初速度v₀=$\frac{mg}{2qB}$向Q運動，小球Q的運動軌跡如圖2所示，已知Q球在最高點和最低點所受全力的大小相等，求小球Q在運動過程中的最大速度和第一次下降的最大距離H．

Answer 1

分析 （1）P、Q兩球發(fā)生彈性碰撞，遵守動量守恒和機械能守恒，據(jù)此列式，可求得碰撞后小球Q的速度大�。�
（2）兩球碰撞后交換速度，Q球做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，經(jīng)過一個周期時間再次與P球碰撞，交換速度，P球做平拋運動．根據(jù)平拋運動的規(guī)律求解即可．
（3）PQ相碰之后小球Q開始做曲線運動，小球運動到最低位置時下落高度為H，此時速度最大，根據(jù)動能定理列式得到最大速度．任意時刻v沿水平向右方向、豎直向下方向的分速度分別為v_x、v_y．與v_y相對應(yīng)的洛倫茲力水平向右，為 f_x=qv_yB，小球Q到最低點的過程中，運用動量定理可求解．

解答 解：（1）小球P、Q首次發(fā)生彈性碰撞時，取向右為正方向，由動量守恒和機械能守恒得：
  mv₀=mv_P+mv_Q；
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
聯(lián)立解得 v_P=0，v_Q=v₀=$\frac{mg}{2qB}$．
（2）對于小球Q，由于qE=mg，故Q球做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，則
  qv_QB=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{r}$
經(jīng)時間t₁=T=$\frac{2πm}{qB}$小球P、Q再次發(fā)生彈性碰撞，由（1）可知碰后：v_P′=v₀=$\frac{mg}{2qB}$，v_Q′=0
小球P離開平臺后做平拋運動，平拋運動的時間為t₂，t₂=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{2m}{qB}$
所以P與Q首次發(fā)生碰撞后到落地，經(jīng)過的時間 t=$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{2m}{qB}$=$\frac{2m}{qB}$（π+1）
落地點與平臺邊緣的水平距離 x_P=v_P′t₂=$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$
（3）PQ相碰后，Q球速度v_Q=v₀=$\frac{mg}{2qB}$，之后小球Q以速度v_Q開始做曲線運動．
設(shè)小球運動到最低位置時下落高度為H，此時速度最大為v_m，方向水平向右．
由動能定理得：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
任意時刻v沿水平向右方向、豎直向下方向的分速度分別為v_x、v_y．
與v_y相對應(yīng)的洛倫茲力水平向右，為 f_x=qv_yB
小球Q到最低點的過程中，由動量定理得：
  $\sum_{\;}^{\;}$f_x△t=∑qv_yB△t=qB$\sum_{\;}^{\;}$v_y△t=qBH=mv_m-mv_Q；
聯(lián)立解得 H=$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$，v_m=$\frac{3mg}{2qB}$
答：
（1）P、Q兩球首次發(fā)生彈性碰撞后，小球Q的速度大小為$\frac{mg}{2qB}$．
（2）P、Q兩球首次發(fā)生彈性碰撞后，經(jīng)$\frac{2m}{qB}$（π+1）時間小球P落地，落地點與平臺邊緣間的水平距離為$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．
（3）小球Q在運動過程中的最大速度為$\frac{3mg}{2qB}$，第一次下降的最大距離H為$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．

點評 解決本題要正確分析兩球的受力情況，準(zhǔn)確把握彈性碰撞的規(guī)律：動量守恒和機械能守恒，關(guān)鍵要運用積分法動量定理求解最大速度．