Question

2．如圖所示，為樓層間運送物體的傳送裝置，淺色傳送帶的水平部分ab=3.2m，斜面部分bc=7.5625m，bc與水平面的夾角θ=37°．一煤塊A與傳送帶的動摩擦因數始終為μ=0.25，傳送帶沿圖示的方向運動，速率v=5m/s．若把煤塊A輕放到a處，它將被傳送帶送到c點，且煤塊A不會脫離傳送帶，煤塊A相對傳送帶滑動時會在傳送帶上留下黑色痕跡．求煤塊A從a點被傳送到c點在傳送帶上留下黑色痕跡的長度．（已知：sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10m/s²）

Answer 1

分析 根據牛頓第二定律求出小物塊的加速度，并求出當物塊的速度達到5m/s時的位移，判斷出物體的運動情況，從而求出小物塊從a端被傳送到b端所用的時間．A在bc段將沿傾斜部分加速下滑，此時A受到的為滑動摩擦力，大小為 μmgcos37°，方向沿傳送帶向上，由牛頓第二定律求出加速度，在ab段與bc段都會留下痕跡，但ab段傳送帶快，bc段分兩部分，傳送帶速度大于煤塊速度和煤塊速度大于傳送帶速度，所留痕跡的長度即可求解

解答 解：煤塊在ab段運動時的加速度為：a₁=μg=2.5m/s²
達到傳送帶的速度時的時間為：${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{5}{2.5}s=2s$
此段時間內所走過的位移：${x}_{0}=\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×{2}^{2}m=5m$＞3.2m
到達B點的速度為：${v}_{B}=\sqrt{2{a}_{1}ab}=\sqrt{2×2.5×3.2}m/s=4m/s$
所需時間為：$t′=\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}}=\frac{4}{2.5}s=1.6s$
傳送前進的位移為：x₂=vt′=5×1.6s=8m
產生的痕跡為：△x₁=x₂-ab=8-3.2m=4.8m
在bc段，當煤塊剛滑到bc段時，傳送帶速度大于煤塊速度，受力分析正交分解得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂
解得：a₂=gsinθ+μgcosθ=10×0.6+0.25×10×0.8m/s²=8m/s²
達到共同速度所需時間為：${t}_{2}=\frac{v-{v}_{B}}{{a}_{2}}=\frac{5-4}{8}s=\frac{1}{8}s$
傳送帶前進的位移為：${x}_{3}=vt′=\frac{5}{8}m$
煤塊前進位移為：${x}_{4}={v}_{B}t′+\frac{1}{2}{a}_{2}t{′}^{2}=4×\frac{1}{8}+\frac{1}{2}×8×{（\frac{1}{8}）}^{2}m$=$\frac{9}{16}m$
此過程又產生的痕跡為：$△{x}_{2}={x}_{3}-{x}_{4}=\frac{1}{16}m$
痕跡長度為：△x=△x₁+△x₂=4.8+0.0625m=4.8625m
達到共同速度后煤塊的加速度為：mgsinθ-μmgcosθ=ma₃
解得：a₃=gsinθ+μgcosθ=10×0.6-0.25×10×0.8m/s²=4m/s²
設經過時間t₃滑到底端，在此過程中煤塊的位移為：x₅=bc-x₄=7m
${x}_{5}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{{a}_{3}t}_{3}^{2}$
聯立解得：t₃=1s或t₃=3.5s（舍去）
在1s內傳送帶前進的位移為：x₆=vt₃=5m
產生的痕跡長度為：△x₃=bc-x₆=2m＜4.8625m
答：煤塊A從a點被傳送到c點在傳送帶上留下黑色痕跡的長度為4.8625m

點評 本題是動力學問題，關鍵根據加速度方向與速度方向的關系，理清物體的運動情況，運用牛頓第二定律和運動學公式求解，要注意思路清晰，運算準確