Question

19．一只皮球從高為5m處自由下落，著地后豎直向上反跳，上跳時(shí)離地速率等于著地速率的$\frac{3}{4}$，以后每一次反跳的速率都等于前次著地速率的$\frac{3}{4}$．那么這皮球從開(kāi)始下落到靜止于地面經(jīng)歷的時(shí)間是（g取10m/s²）（　�。�

• A． 5s
• B． 6s
• C． 7s
• D． 8s

Answer 1

分析 皮球做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，每個(gè)回合分自由下落和豎直上拋兩個(gè)子過(guò)程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式逐次求出皮球下落1次、2次…時(shí)撞地前瞬間的速度、下落時(shí)間和上升時(shí)間，總結(jié)規(guī)律，得到皮球在地第n次反彈在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求總時(shí)間．

解答 解：設(shè)皮球原來(lái)距地高度為h，第一次撞地前速度為v₀，下落時(shí)間為t₀．
則有：v₀=$\sqrt{2gh}$=10m/s，t₀=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=1s
第一次撞地后：v₁=$\frac{3}{4}$v₀，反彈后空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{2{v}_{1}}{g}$=2×$\frac{{v}_{1}}{g}$=2×$\frac{3}{4}$s
第二次撞地后：v₂=$\frac{3}{4}$v₁=$（\frac{3}{4}）^{2}{v}_{0}$，反彈后空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{2}=2×[（\frac{3}{4}）^{2}×\frac{{v}_{0}}{g}]=2×（\frac{3}{4}）^{2}$s
…
由運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：皮球在地n次反彈在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t_n=2×（$\frac{3}{4}$）ⁿ
所以皮球從開(kāi)始下落的總時(shí)間為：T=t₀+t₁+t₂…+t_n=1+2×$\frac{3}{4}$+2×（$\frac{3}{4}$）²+…2×（$\frac{3}{4}$）ⁿ=1+2×$\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}$=1+6=7s
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題是物理中數(shù)列問(wèn)題，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力，關(guān)鍵要尋找時(shí)間存在的規(guī)律．